1 . 已知函数，试根据下列要求研究函数的性质.
（1）求证：函数是偶函数；
（2）求证：是函数的一个周期；
（3）写出函数的单调区间（不必证明），并求函数的最值.

2 . 已知集合.
（1）求证：函数；
（2）某同学由（1）又发现是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；
（3）设为非零常数，求的充要条件，并给出证明.

3 . 对于定义在上的函数，如果存在两条平行直线与，使得对于任意，都有恒成立，那么称函数是带状函数，若，之间的最小距离存在，则称为带宽.
（1）判断函数是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；
（2）求证：函数（）是带状函数；
（3）求证：函数（）为带状函数的充要条件是.

4 . 已知连续不断函数，，，
（1）证明：函数在区间上有且只有一个零点；
（2）现已知函数在上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数的零点分别为．
求证：（i）；
(ii)判断与的大小，并证明你的结论．

5 . 已知连续不断函数，．
（1）求证：函数在区间上有且只有一个零点；
（2）现已知函数在上有且只有一个零点（不必证明），记和在上的零点分别为，求证：．

6 . 已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质，
(1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围；
(3)已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质，

7 . 设函数.
(1)求函数在上的单调区间；
(2)求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过的最大整数，如）.
参考数据：.

8 . 已知函数的定义域为，若对于给定的非零实数，存在使得成立，则称函数具有性质.
(1)已知，判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)已知，若函数，具有性质，求正实数的取值范围；
(3)已知函数，的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数，具有性质.

10 . 已知函数．
(1)当时，直接写出的单调区间（不要求证明），并求出的值域；
(2)设函数，若对任意，总有，使得，求实数的取值范围．