2024·全国·模拟预测
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1 . 公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，
等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
| A．778 | B．779 | C．780 | D．781 |
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2 . 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数
，根据上述运算法则得出
，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列
满足：
（
为正整数），
当
时，
（ ）
.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，（ ）| A．170 | B．168 | C．130 | D．172 |
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2024-01-12更新
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1079次组卷
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5卷引用：云南省昆明市官渡区2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平考试数学试题
云南省昆明市官渡区2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平考试数学试题山东省烟台市爱华高级中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（二）A卷天津市和平区耀华中学2024届高三下学期寒假验收考数学试卷（已下线）信息必刷卷04（天津专用）（已下线）拔高点突破01 新情景、新定义下的数列问题（七大题型）
3 . 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数
称为高斯函数，其中
表示不超过x的最大整数，如
，
，已知数列满足
，
，
，若
，
为数列
的前n项和，则
（ ）
称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（ ）| A．2026 | B．2025 | C．2024 | D．2023 |
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2023-11-25更新
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1100次组卷
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7卷引用：云南省曲靖市第一中学2022-2023学年高一下学期7月期末考试数学试题
云南省曲靖市第一中学2022-2023学年高一下学期7月期末考试数学试题江西省吉安市双校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题内蒙古赤峰市赤峰二中2024届高三上学期第三次月考数学(理)试题（已下线）第五章 数列 专题8 数列中的递推（已下线）第五章 数列 专题7 有关数列求通项、周期性求和的问题陕西省西安市西安中学2024届高三上学期期末数学（理）试题（已下线）4.3.2 等比数列的前n项和公式——课后作业（巩固版）
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解题方法
4 . 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数
，
称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如
，
.已知等差数列
满足
，
，
，则
____________ .
，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则
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2023-11-15更新
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622次组卷
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5卷引用：云南省楚雄州2024届高三上学期期中教育学业质量监测数学试题
云南省楚雄州2024届高三上学期期中教育学业质量监测数学试题福建省宁德市部分达标学校2024届高三上学期期中质量检测数学试题河北省沧衡八校联盟2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题辽宁省铁岭市一般高中协作校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（已下线）模块三 专题9 新情境专练 拔高 期末终极研习室（高二人教A版）
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5 . 斐波那契是公元13世纪意大利著名的数学家，他在自己的著作《算盘全书》中记载着一个兔子繁殖问题：假定有一对大兔子（一雌一雄），每个月可以生下一对小兔子（一雌一雄），并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力.假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？数学家斐波那契在研究时，发现了这样一个数列的数学模型：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，即数列满足：，
，
且
.这个数列就是著名的“斐波那契数列”.已知斐波那契数列有如下性质：①存在正整数k使得
成立；②存在正整数m使得
成立，则下列选项正确的是（ ）
满足：，，且.这个数列就是著名的“斐波那契数列”.已知斐波那契数列有如下性质：①存在正整数k使得成立；②存在正整数m使得成立，则下列选项正确的是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-11-07更新
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607次组卷
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5卷引用：云南省昆明市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题
云南省昆明市第八中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题河南省湘豫名校联考2023-2024学年高三上学期一轮复习诊断考试（二）数学试题（已下线）模块五 专题5 期末全真模拟（拔高卷1）期末终极研习室（高二人教A版）（已下线）考点16 几类特殊的数列模型 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）【一题多变】斐波那契数列 归纳裂项
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解题方法
6 . 公元前
世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点
和
，且该平面内的点P满足
，若点P的轨迹关于直线
对称，则
的最小值是（ ）
世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-08-14更新
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1347次组卷
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11卷引用：云南省红河州开远市第一中学校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题
云南省红河州开远市第一中学校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题重庆市南开中学校2023-2024学年高二上学期9月测试数学试题四川省宜宾市叙州区第二中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题湖北省宜昌市枝江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题广西希望高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）重难点突破03 直线与圆的综合应用（七大题型）湖北省A9高中联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题重庆市长寿区八校联考2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（B卷）（已下线）专题2.2 直线与圆的位置关系（2个考点十二大题型）（1）（已下线）专题3 阿波罗尼斯圆及其应用【练】（压轴小题大全）（已下线）2.5.1 直线与圆的位置关系——课后作业（巩固版）
解题方法
7 . 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“
”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“
”和“
”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论不正确的是（ ）
”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论不正确的是（ ）A．当 时， |
B．当时， 的最小值是2 |
C．当 时， 的最小值是 |
D．设， ，且 ，则 的最小值是 |
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解题方法
8 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小于
时，使得
的点
即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知中内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角A的值；
(2)若点
为的费马点，
，求实数
的最小值.
的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知中内角所对的边分别为，且.(1)求角A的值；
(2)若点
为的费马点，，求实数的最小值.
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2023-07-11更新
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1133次组卷
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8卷引用：云南省昆明市第八中学2023-2024学年高一下学期月考（一）数学试卷
云南省昆明市第八中学2023-2024学年高一下学期月考（一）数学试卷广东省韶关市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）第四章 综合测试B（提升卷）（已下线）压轴题三角函数新定义题(九省联考第19题模式）练江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高一下学期3月情况调研数学试题（已下线）重组3 高一期末真题重组卷（广东卷）B提升卷四川省眉山市东坡区眉山映天学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题福建省柘荣县第一中学2023-2024学年高一下学期第八次月考数学试题（平衡班）
解题方法
9 . 法国著名军事家拿破仑・波拿巴提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在非直角中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
．分别以
，
，
为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为
，
，
．；
(2)若
，
的面积分别为
，
，且
，求
的面积．
中，内角，，的对边分别为，，，已知．分别以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，．
；(2)若
，的面积分别为，，且，求的面积．
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10 . 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列
，则下列说法正确的是（ ）
，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A． |
| B．1225既是三角形数，又是正方形数 |
C． |
D． ， ，总存在 ， ，使得 成立 |
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2023-05-23更新
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734次组卷
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6卷引用：云南省安宁市第一中学2023届高三省测数学模拟试题
云南省安宁市第一中学2023届高三省测数学模拟试题广东省广州市天河中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题江西省南昌市第二中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）第三篇 数列、排列与组合 专题2 多边形数、伯努利数、斐波那契数、洛卡斯数、明安图数与卡塔兰数 微点2 多边形数综合训练江苏省南通市海安市实验中学2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题江西省南昌市聚仁高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
