1 . 规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使，则称可以表示成进制形式，简记为：；如：，表示是一个2进制形式的数，且；
（1）已知，试将表示成进制的简记形式；
（2）若数列满足，，，，，求证：；
（3）若常数满足且，，求.

2 . 对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意,都有.成立,那么,就把这样的一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,简称周期:例如:当时,是周期为1的周期数列:当时,是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足(不同时为0),求证:数列是周期数列,并求数列前2020项和;
(2)设数列前项和为,且;
①若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足,数列前项和为,试问是否存在,使对任意,都有成立,若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.

3 . 如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为. 点为圆上任一点，且满足，以为坐标的动点的轨迹记为曲线．

（1）求圆的方程及曲线的方程；
（2）若两条直线和分别交曲线于点和，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．
（3）已知曲线的轨迹为椭圆，研究曲线的对称性，并求椭圆的焦点坐标．

4 . 如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，以为坐标的动点的轨迹记为曲线．

（1）求圆的方程及曲线的方程；
（2）若两条直线和分别交曲线于点和，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．
（3）根据曲线的方程，研究曲线的对称性，并证明曲线为椭圆．

5 . 设数列 的前项和为，对一切，点都在函数的图象上.
（1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，， ；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围.

6 . 已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若关于的方程有四个不同的解，求实数应满足的条件；
（3）在（2）条件下，若成等比数列，用表示t.

7 . 已知，为常数，且为正整数，为质数且大于2，无穷数列的各项均为正整数，其前n项和为，对任意正整数，数列中任意两不同项的和构成集合A.
（1）证明无穷数列为等比数列，并求的值；
（2）如果，求的值；
（3）当，设集合中元素的个数记为，求.

8 . 记为不超过实数x的最大整数，例如：，设a为正整数，数列满足：，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5，3，2；
②对数列都存在正整数k，当时，总有；
③当时，；
④对某个正整数k，若，则；
其中的真命题个数为

A．4

B．3

C．2

D．1

9 . 设函数，
（Ⅰ）求的最大值，并写出使取最大值时x的集合；
（Ⅱ）已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，求的面积的最大值．

10 . 已知数列，满足：，，．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，不等式恒成立时，求实数的取值范围．