1 . 已知数列中，，其前项的和为，且满足().
（1）求证：数列是等差数列；
（2）证明：当时，.

2 . 设是公差为的等差数列，是公比为（）的等比数列，记.
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）若，，数列前2项和为14，前8项和为857，求数列通项公式；
（3）在（2）的条件下，问：数列中是否存在四项、、、成等差数列？请证明你的结论.

3 . 设数列的前项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求；
（Ⅲ）求证：．

4 . 已知数列的首项，，、、．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数；
（3）是否存在互不相等的正整数、、，使、、成等差数列且、、成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

5 . 已知数列满足，（，），
（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；
（2）数列的前项和为，求证：对任意，.

6 . 数列的前项和为，且，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设数列满足，其前项和为，证明：.

7 . 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“极差数列”仍是；
（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.

8 . 对于给定的数列，，设，即是，，…，中的最大值，则称数列是数列，的“和谐数列”．
（1）设，，求，，的值，并证明数列是等差数列；
（2）设数列，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；
（3）设数列满足，数列是数列，的“和谐数列”，且（m为常数，，2，…，k），求证：．

9 . 已知数列满足，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，试判断是否存在常数A、B、C，使得对一切都有成立？若存在，求出A、B、C的值；若不存在，请说明理由；
（3）设数列的前n项和为，求证：．

10 . 已知函数，且存在，使得，设，，，．
（Ⅰ）证明单调递增；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）记，其前项和为，求证：．