1 . 已知椭圆的离心率为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点M、N；当直线垂直于轴时，四边形的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.

2 . 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.

3 . 已知中心在原点的椭圆的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点的坐标为，点，是椭圆上的两点点，，不共线，且，证明直线斜率存在时过定点，并求面积的取值范围．

5 . 已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点．求证：为定值．

6 . 已知函数定义域为，设.
（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
（2）求证：；
（3）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数.

7 . 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明: （其中e为自然对数的底数）.

8 . 已知函数在处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；
(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.

9 . 如图，椭圆的左、右顶点分别为，焦距为，直线与交于点，且，过点作直线交直线于点，交椭圆于另一点．

（1）求椭圆的方程；
（2）证明：为定值．