1 . 从抛物线上各点向x轴作垂线段.
(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；
(2)直线与抛物线交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上.

2 . 已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，设函数，求证：有解.

3 . 已知函数．
(1)若，求在区间上的最小值和最大值；
(2)若，求证：在处取得极小值．

4 . 在①焦点到准线的距离是2，②准线方程是，③通径的长等于4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，___________.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线与抛物线C相交于点A，B，求证：.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

5 . 已知椭圆的离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当椭圆的焦点在x轴上时，直线与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为的直线与l交于点M，点N满足轴，轴，求证：点N在直线上．

6 . （1）已知函数，证明.
（2）已知函数.讨论函数的零点个数；

7 . 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.

8 . 已知抛物线，为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5．
(1)求E的标准方程；
(2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线与斜率乘积为．
（i）证明：直线过定点；
（ii）求的最小值．

9 . 已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)设，当时，若，求实数的取值范围．

10 . 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

   

(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)证明：直线过定点.