1 . 设函数.
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若，求证：在时，.

2 . 如图，设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．

(1)求点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线，直线l交于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点．
（i）证明：为定值；
（ii）求四边形MPNQ面积的取值范围．

3 . 已知函数．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)当时，证明：．

4 . 如图，椭圆经过点，且长轴长是短轴长的倍．

(1)求椭圆的方程；
(2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、（均异于点），求证：直线与的斜率之和为定值．

5 . 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过坐标原点的直线交曲线于、两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交曲线于点.证明：是直角三角形.

6 . 已知，，为平面上一动点，且满足，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)若，过点的动直线：交曲线于，（不同于，）两点，直线与直线斜率分别记为，.
①求的范围.
②证明：为定值，并计算定值的范围．

7 . 已知函数，，．
(1)若在上单调递增，求a的最大值；
(2)当a取（1）中所求的最大值时，讨论在R上的零点个数，并证明．

8 . 已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若在上存在极值点，证明：.

9 . 已知函数，.
(1)当时，设，求证：；
(2)若恰有两个零点，求的最小整数值.

10 . 已知，函数.
（1）当时，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若函数有两个极值点，，求证：.