1 . 已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若，证明：.

2 . 已知且，函数.
(1)当时，设的导函数，求的单调区间；
(2)若函数恰有两个互异的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.

3 . 已知函数.
(1)讨论零点的个数；
(2)设m，n为两个不相等的正数，且，证明：.

4 . 已知函数，曲线在点处的切线斜率为，在点处的切线经过原点.
(1)求实数的值；
(2)若有两个根，求证：.

5 . 在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，.交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．

6 . 已知抛物线C的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴上，直线交抛物线C于点A，交y轴于点B，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点，动直线l交抛物线C于M，N两点N两点均不与点P重合，且满足，求证：直线MN恒过定点，并求出这个定点的坐标．

7 . 已知函数，其中，e是自然对数的底数．证明：
(1)在上是单调增函数；
(2)当时，函数有且只有两个零点．

8 . 已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当时，求△OMN的面积；
(3)求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上．

9 . 已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)当时，记的最小值为，求证：．

10 . 1.已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：函数在区间上有且仅有一个零点.