1 . 已知函数.
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）对任意，成立，求实数的值.

2 . 设，分别是椭圆的左，右焦点，两点分别是椭圆的上，下顶点，是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直分别相交于两点，点，求证：的外接圆恒过原点.

3 . 已知函数.
（1）若直线与曲线相切，求的值；
（2）对任意，成立，讨论实数的取值.

4 . 已知函数（为自然对数的底数），其中.
（1）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
（2）若函数的两个极值点为，证明：.

5 . 已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点.
（1）求的最大值，并证明你的结论；
（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，设直线的斜率为，且，求直线的斜率的取值范围.

6 . 已知函数
（1）试讨论的单调性；
（2）设（是与无关的常数，），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值

7 . 已知函数.
（1）试讨论的单调性；
（2）当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值.

8 . 点是直线上的动点，过点的直线、与抛物线相切，切点分别是、.
（1）证明：直线过定点；
（2）以为直径的圆过点，求点的坐标及圆的方程.

9 . 已知函数，.
（Ⅰ）若函数在处的切线垂直于轴，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.

10 . 已知椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为，，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线，与直线分别交于点，，求证：以线段为直径的圆过定点，.