解题方法
1 . 某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成,曲线和曲线交于点,. 如图1所示建立平面直角坐标系,曲线所对应的方程为,,曲线所对应的方程为,.(1)求的值及曲线所在椭圆的离心率的值;
(2)现要在平安锁上找一个点作为装饰孔,要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点(如图2所示),满足,求实数的值;
(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁,要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切(如图3所示),求该菱形的面积.
(2)现要在平安锁上找一个点作为装饰孔,要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点(如图2所示),满足,求实数的值;
(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁,要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切(如图3所示),求该菱形的面积.
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2 . 如图,已知椭圆的方程为,点、分别是椭圆的左、右顶点,点的坐标是,过点的动直线交椭圆于点、(点的横坐标小于点的横坐标).(1)求椭圆焦点的坐标;
(2)是否存在常数,使为定值,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(3)当设直线的斜率不为时,设直线与交于点.请提出一个与点有关的问题,并求解该问题.
(备注:本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分.)
(2)是否存在常数,使为定值,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(3)当设直线的斜率不为时,设直线与交于点.请提出一个与点有关的问题,并求解该问题.
(备注:本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分.)
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真题
解题方法
3 . 已知双曲线左右顶点分别为,过点的直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时,求的值.
(2)若为等腰三角形时,且点在第一象限,求点的坐标.
(3)连接并延长,交双曲线于点,若,求的取值范围.
(1)若离心率时,求的值.
(2)若为等腰三角形时,且点在第一象限,求点的坐标.
(3)连接并延长,交双曲线于点,若,求的取值范围.
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真题
4 . 定义一个集合,集合中的元素是空间内的点集,任取,存在不全为0的实数,使得.已知,则的充分条件是( )
A. | B. |
C. | D. |
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23-24高二下·上海·期末
解题方法
5 . 已知椭圆,抛物线.若直线与曲线交于点、,直线与曲线分别交于点、.当时,则称直线是曲线与的“等弦线”.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线同时满足以下两个条件:①直线经过原点②直线是与的“等弦线”.请求出的方程;
(3)已知点,,证明:过点存在与的“等弦线”.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线同时满足以下两个条件:①直线经过原点②直线是与的“等弦线”.请求出的方程;
(3)已知点,,证明:过点存在与的“等弦线”.
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6 . 设A,B是双曲线H:上的两点.直线l与双曲线H的交点为P,Q两点.
(1)若双曲线H的离心率是,且点在双曲线H上,求双曲线H的方程;
(2)设A、B分别是双曲线H:的左、右顶点,直线l平行于y轴.求直线AP与BQ斜率的乘积,并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程;
(3)设双曲线H:,其中,,点M是抛物线C:上不同于点A、B的动点,且直线MA与双曲线H相交于另一点P,直线MB与双曲线H相交于另一点Q,问:直线PQ是否恒过某一定点?若是,求该定点的坐标;若不是,请说明理由.
(1)若双曲线H的离心率是,且点在双曲线H上,求双曲线H的方程;
(2)设A、B分别是双曲线H:的左、右顶点,直线l平行于y轴.求直线AP与BQ斜率的乘积,并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程;
(3)设双曲线H:,其中,,点M是抛物线C:上不同于点A、B的动点,且直线MA与双曲线H相交于另一点P,直线MB与双曲线H相交于另一点Q,问:直线PQ是否恒过某一定点?若是,求该定点的坐标;若不是,请说明理由.
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名校
解题方法
7 . 已知曲线:.(1)若曲线为双曲线,且渐近线方程为,求曲线的离心率;
(2)若曲线为椭圆,且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线(与不重合)与椭圆分别交于,两点和,两点,且点满足到直线和的距离都等于,求直线和的斜率之积;
(3)若,过点的直线与直线交于点,与椭圆交于,点关于原点的对称点为,直线交直线交于点,求的最小值.
(2)若曲线为椭圆,且在曲线上.过原点且斜率存在的直线和直线(与不重合)与椭圆分别交于,两点和,两点,且点满足到直线和的距离都等于,求直线和的斜率之积;
(3)若,过点的直线与直线交于点,与椭圆交于,点关于原点的对称点为,直线交直线交于点,求的最小值.
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解题方法
8 . 已知双曲线的左、右顶点分别为、,设点在第一象限且在双曲线上,为坐标原点.(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值;
(2)若,求的取值范围;
(3)椭圆的长轴长为,且短轴的端点恰好是、两点,直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值,并写出取最小值时点的坐标.
(2)若,求的取值范围;
(3)椭圆的长轴长为,且短轴的端点恰好是、两点,直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值,并写出取最小值时点的坐标.
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9 . 已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点,过作斜率为的直线,与双曲线只有点这一个交点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形,求的面积;
(3)已知点和双曲线上两动点,满足,过点作于点,证明:点在一个定圆上,并求定圆的方程.
(1)求双曲线的方程;
(2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形,求的面积;
(3)已知点和双曲线上两动点,满足,过点作于点,证明:点在一个定圆上,并求定圆的方程.
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10 . 已知椭圆的右焦点为,直线与椭圆交于不同的两点、.
(1)证明:点到右焦点的距离为;
(2)设点,当直线的斜率为,且与平行时,求直线的方程;
(3)当直线与轴不垂直,且△的周长为时,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
(1)证明:点到右焦点的距离为;
(2)设点,当直线的斜率为,且与平行时,求直线的方程;
(3)当直线与轴不垂直,且△的周长为时,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
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