2024高三·全国·专题练习
解题方法
1 . 正三棱柱中,试确定侧面及上对角线垂直于的条件.(写出一个即可)
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2 . 椭圆满足这样的光学性质:从椭圆的一个焦点发射光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.如果没有阻挡,此过程可以不断重复进行下去.
(1)椭圆 ,分别为其左、右焦点.试问,从 发射的光线,经椭圆反射后第一次回到时,光线经过的路程的最大值和最小值分别为多少?(写出结论即可,无须说明)
(2)如图,椭圆 的左、右焦点分别为,从 发射的光线,经椭圆上两点 处分别反射后,光线回到,已知 , ,求椭圆 的离心率的值.
(1)椭圆 ,分别为其左、右焦点.试问,从 发射的光线,经椭圆反射后第一次回到时,光线经过的路程的最大值和最小值分别为多少?(写出结论即可,无须说明)
(2)如图,椭圆 的左、右焦点分别为,从 发射的光线,经椭圆上两点 处分别反射后,光线回到,已知 , ,求椭圆 的离心率的值.
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解题方法
3 . 已知椭圆与直线l:有唯一的公共点M.
(1)当时,求点M的坐标;
(2)过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于,两点.当点M运动时,
(i)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;
(ii)如果推广到一般椭圆,能得到什么相应的结论?(直接写出结论即可)
(1)当时,求点M的坐标;
(2)过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于,两点.当点M运动时,
(i)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;
(ii)如果推广到一般椭圆,能得到什么相应的结论?(直接写出结论即可)
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2024高三·全国·专题练习
4 . 、、是海上三个救援中心,在的正东方向,相距,在的北偏西,相距,为海面上一艘油轮.某一时刻,发现的求救信号,由于、两地比距地远,因此后,、两地才同时发现这一信号,该信号的传播速度为.
(1)若救援,求在处发现的方位角;
(2)若信号在空间中被发现,的位置在何处时,才能使、收到的时间差小于.(只需写出一种位置即可)
(1)若救援,求在处发现的方位角;
(2)若信号在空间中被发现,的位置在何处时,才能使、收到的时间差小于.(只需写出一种位置即可)
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解题方法
5 . 在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的正方形,,直线PA与BC所成的角的正切值等于、N分别是PB、PC的中点.(1)判断直线AM和DN的位置关系(不必说明理由,直接写出结论即可);
(2)证明:平面平面ABCD;
(3)求平面MPD与平面APD夹角的余弦值.
(2)证明:平面平面ABCD;
(3)求平面MPD与平面APD夹角的余弦值.
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解题方法
6 . 在正方体中,分别是棱和上异于端点的动点,将经过三点的平面被正方体截得的图形记为.如图中时截面图形为矩形.
(1)在图中作出截面图形为梯形的情形;(直接画出图形即可,不需说明)
(2)当点为中点时,求与平面所成角的正弦值.
(1)在图中作出截面图形为梯形的情形;(直接画出图形即可,不需说明)
(2)当点为中点时,求与平面所成角的正弦值.
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7 . 如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且,,侧面底面,,,,为侧棱的中点 .
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)(i)求点到平面的距离;
(ii)设为侧棱上一点,写出四边形周长的最小值.(直接写出结果即可)
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)(i)求点到平面的距离;
(ii)设为侧棱上一点,写出四边形周长的最小值.(直接写出结果即可)
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8 . 如图,在棱长均为的三棱柱中,点在平面内的射影为与的交点,、分别为,的中点.
(1)求证:四边形为正方形;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使得直线与平面没有公共点?若存在求出的值.(该问写出结论即可)
(1)求证:四边形为正方形;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在线段上是否存在一点,使得直线与平面没有公共点?若存在求出的值.(该问写出结论即可)
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解题方法
9 . 我们学习了空间向量基本定理:如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在一个唯一的有序实数对,使得.其中,叫做空间的一个基底.,不共线,非零向量,满足,,,.
(1)以为基底证明::
(2)用向量证明:若两相交平面同时垂直另一平面,则这两平面的交线也垂直这个平面.
(1)以为基底证明::
(2)用向量证明:若两相交平面同时垂直另一平面,则这两平面的交线也垂直这个平面.
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10 . 与圆类似,连接圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦,过有心曲线(椭圆,双曲线)中心(即对称中心)的弦叫做有心曲线的直径.对圆,由直径所对的圆周角是直角出发,可得:若是圆的直径,是圆上一点(异于),均与坐标轴不平行,则.
(1)试根据点和直径的特殊位置,写出椭圆和双曲线的类似结论;
(2)对于任意位置满足条件的点和直径,证明(1)中的其中一个结论.
(1)试根据点和直径的特殊位置,写出椭圆和双曲线的类似结论;
(2)对于任意位置满足条件的点和直径,证明(1)中的其中一个结论.
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