2 . 某箱中有个除颜色之外均相同的球，已知.箱中1个球为白球，其余为黑球.现在该箱中进行一取球实验:每次从箱中等可能地取出一个球，若取出白球或取球次后结束实验，否则进行相应操作进行下一次取球.设实验结束时的取球次数为.
(1)若取出黑球后放回箱中，求的数学期望;
(2)若取出黑球后替换为白球放回箱中，求的最大值，并证明:.

4 . 设都是不小于3的整数，当时，，设集合，如果与不能同时成立，则（       ）

A．若，则或

B．若，则的可能取值为3或4或5

C．若的值确定，则

D．若为奇数，则的最大值为

5 . （1）我们学过组合恒等式，实际上可以理解为，请你利用这个观点快速求解：.（计算结果用组合数表示）
（2）（i）求证：；
（ii）求值：.

7 . 组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序列，定义为序列的母函数．母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合我们用即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是．
(1)假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出的一个与问题对应的母函数；
(2)已知，其中．现有一序列的母函数，其中，证明：；
(3)在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取n位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出和的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数．

9 . 已知数列满足，数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”．
（i）计算，，其中，．
（ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值．

10 . 某高中高二（1）班10名学生、高二（2）班10名学生、高二（3）班20名学生参加“少年强则国强”演讲比赛，比赛采用随机抽签的方式确定出场顺序，每位学生依次出场．记“高二（1）班全部学生完成比赛后，高二（2）班和高二（3）班都有学生尚未完成比赛”为事件A，则事件A发生的概率为_______________．