1 . 如果存在实数对使函数，那么我们就称函数为实数对的“正余弦生成函数”，实数对为函数的“生成数对”；
(1)求函数的“生成数对”；
(2)若实数对的“正余弦生成函数”在处取最大值，其中，求的取值范围；
(3)已知实数对为函数的“生成数对”，试问：是否存在正实数使得函数的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

2 . 把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．已知函数．

(1)若，，求的值域；
(2)函数，若对，，都有恒成立，求实数的取值范围．

3 . 如图，已知AB为圆O的直径，，，则六边形AECBDF的周长的最大值为______．

4 . 设，，．
(1)求的最大值；
(2)是否存在实数m，使不等式在上有解．

5 . 如图，某专用零件四边形ABCD由平面图是一个半圆形钢板切割而成，其中O为圆心，，OC平分角BOD交圆于点C，D为圆弧上一点，设．

(1)当时，求该零件的面积；
(2)若该零件周长为函数，且恒成立，求实数m的取值范围．

6 . 如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是（       ）

A．在区间上是增函数

B．恰有个零点

C．的最小值为

D．的图象关于点中心对称

7 . 已知向量，
（1）当时，令，求的最值；
（2）若关于方程在上有6个不等的实根，求的取值范围；
（3）当对恒成立时，的最大值为，求的值．

8 . 已知常数，定义在上的函数．
（1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值；
（2）当时，设集合，，若，求实数m的取值范围；
（3）已知常数，，且函数在）内恰有2021个零点，求常数a及n的值．