1 . 为满足群众就近健身和休闲的需求，很多城市开始规划建设“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”OPQ中，准备修一条三角形健身步道OAB，已知扇形的半径，圆心角，A是扇形弧上的动点，B是半径OQ上的动点，，则面积的最大值为______.
   

2 . 由于某地连晴高温，森林防灭火形势严峻，某部门安排了甲、乙两名森林防火护林员对该区域开展巡查．现甲、乙两名森林防火护林员同时从A地出发，乙沿着正西方向巡视走了3km后到达D点，甲向正南方向巡视若干公里后到达B点，又沿着南偏西60°的方向巡视走到了C点，经过测量发现．设，如图所示．

   

(1)设甲护林员巡视走过的路程为，请用表示S，并求S的最大值；
(2)为了强化应急应战准备工作，有关部门决定在区域范围内储备应急物资，求区域面积的最大值．

3 . 如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数，的图象，图象的最高点坐标为.第二部分是长为1千米的直线段DE，轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧.

(1)若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼，求该学生走过的路BO的长；
(2)若点P在弧上，点M和点N分别在线段和线段上，若平行四边形区域为学生的休息区域，记，请写出学生的休息区域的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值.

4 . 某地区组织的贸易会现场有一个边长为的正方形展厅，分别在和边上，图中区域为休息区，，及区域为展览区．

(1)若的周长为，求的大小；
(2)若，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积最大，并求出最大值．

5 . 某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，，DE＝8，且.

(1)求BE的长度；
(2)景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．

6 . 已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.
(1)证明：
(2)若，，求的最大值.

7 . 如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.

(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）

8 . 落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.

(1)若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）
(2)园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.

9 . 如图，在圆O的内接四边形中，，记的面积为，的面积为，.

（1）若，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求的最大值，并写出此时的值.

10 . 某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上选三块区域种上三种不同颜色的花卉，为了划分三种花卉所在的区域且浇灌方便和美观，需要在空地内建一个正三角形形状的水池，要求正三角形的三个顶点分别落在空地的三条边界上（如图），则水池面积的最小值为________．