1 . 已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点.
(1)求双曲线方程；
(2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程.

2 . 在直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为的直线交椭圆于A，B
(1)求椭圆的标准方程
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值；
(3)设点A，B关于原点对称的点分别为C，D，求四边形ABCD面积的最大值.

4 . 如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，已知， 且 过作的不垂直于轴的弦，为的中点，直线与交于、两点.

(1)求、的方程；
(2)若四边形为平行四边形，求直线的方程；
(3)求四边形面积的最小值.

5 . 已知椭圆C经过点，且与椭圆E：有相同的焦点.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B在椭圆C上，且线段的中点坐标为，求直线的斜率；
（3）若动直线与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线交于点Q，问：以线段为直径的圆是否经过x轴上的定点M﹖若存在.求出定点M的坐标；若不存在.请说明理由.

6 . 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线渐近线为y=±x，过点P（－4，0），且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点（P在线段AB上），交y轴于C点，满足．
（1）求双曲线方程；
（2）若中心在原点的椭圆以双曲线的实轴为短轴，垂直于直线l的动直线与椭圆相交的弦中点都在双曲线的一条渐近线上，求椭圆方程．

7 . 已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.
（1）若点满足，求直线的方程；
（2）若，的坐标满足，动点满足(其中为坐标原点)，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
（3）若，在直线上，是否存在与无关的定点，使得直线，的斜率之和为一个定值？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 如图，曲线由两个椭圆和椭圆组成，当a、b、c成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”，若猫眼曲线过点，且a、b、c的公比为.

（1）求猫眼曲线的方程；
（2）任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦AB的中点为M，交椭圆所得弦CD的中点为N，直线OM、直线ON的斜率分别为、，求证：为与k无关的定值；
（3）设、为椭圆上的两点，直线OP、直线的斜率分别为、，且，求的最大值.

9 . 设椭圆C：过点（0，4），离心率为.
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

10 . 如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）求证：点的横坐标为定值.