2 . 直线与椭圆相交于不同的两点，若的中点的横坐标为，求：
(1)的值；
(2)弦长的值．

3 . 已知椭圆经过点．
(1)求的标准方程；
(2)若直线与交于、两点，且弦的中点为，求直线的斜率．

4 . 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．
(1)经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；
(2)设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点．

5 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M，N在椭圆C上.
(1)若线段MN的中点坐标为，求直线MN的斜率；
(2)若M，N，O三点共线，直线NF₁与椭圆C交于N，P两点，求△PMN面积的最大值.

6 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸 (如下图)

步骤 1： 设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤 2： 把纸片折叠， 使圆周正好通过点；
步骤 3： 把纸片展开， 并留下一道折痕；
步骤 4： 不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕．
已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为的圆形纸片， 设定点到圆心 的距离为，按上述方法折纸．
(1)以点 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)直线过椭圆的右焦点，交该椭圆于，两点，中点为，射线 为坐标原点)交椭圆于，若，求直线的方程．

7 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点都在椭圆上，且中点在线段(不包括端点)上.
①求直线的斜率；
②求面积的最大值.

8 . 如图，轴，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，

（1）求点的轨迹方程.
（2）过点作直线与点的轨迹相交于、两点，使点被弦平分，求直线的方程．