1 . 设点P是圆上任意一点，由点P向x轴作垂线，垂足为，且．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)设直线l：（）与（1）中的轨迹C交于不同的两点A，B．
（i）若直线，，的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；
（ii）若以为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线l过定点（Q点除外），并求出该定点的坐标．

2 . 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点到渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点且于，证明：存在定点，使得为定值.

3 . 已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值；
(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 在平面直角坐标系中，已知点，直线，点M到l的距离为d，若点M满足，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与C交于P，Q两点，设，证明：以P，Q为直径的圆经过点A．

5 . 已知双曲线的离心率，虚轴在轴上且长为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若斜率为的直线交于、两点，且直线与圆相切，求证：；
(3)已知椭圆，若、分别是、上的动点，且，探究点到直线的距离是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

6 . 双曲线的左、右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A、B两点．
(1)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)若点P为双曲线上任一点，求证点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值（用含有b的代数式表示）．
(3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率．

9 . 已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：.

10 . 在平面直角坐标系中，已知直线，点，动点到点的距离是它到直线的距离的倍，记的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点且斜率大于的直线交于两点，点，连接、交直线于、两点，证明：点在以为直径的圆上．