1 . 已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.
(1)若离心率时，求的值．
(2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．
(3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围．

3 . 已知平面上到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)把曲线及直线都向左平移5个单位长度，得到曲线及直线，写出及的方程（只写出结果）；
(3)若，是上的两点，且.直线交直线于点，求直线与直线所成锐角的余弦值.

4 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为分别为双曲线的左、右顶点，过的直线与的右支相交于点．
(1)若直线分别与线段的垂直平分线相交于点，求的值．
(2)当直线任意旋转时，试问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．