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1 . 无穷数列
，若存在正整数
，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数
，
中至少有一个等于
，则称数列具有性质
，集合
(1)若
，
，判断数列
是否具有性质；
(2)数列具有性质，且
，
，
，
，求
、
的值；
(3)数列具有性质，记集合
，将集合
中的所有元素按从小到大的顺序排列，得到数列
，记
，，证明：若数列
具有性质，则数列是常数列．
，若存在正整数，使得该数列由个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数，中至少有一个等于，则称数列具有性质，集合(1)若
，，判断数列是否具有性质；(2)数列
具有性质，且，，，，求、的值；(3)数列
具有性质，记集合，将集合中的所有元素按从小到大的顺序排列，得到数列，记，，证明：若数列具有性质，则数列是常数列．
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2022-03-21更新
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503次组卷
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4卷引用：4.3 数列-求数列通项的八种方法(八大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）4.3 数列-求数列通项的八种方法(八大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）上海市控江中学2022届高三下学期3月月考数学试题（已下线）4.1 数列-2022-2023学年高二数学《基础·重点·难点 》全面题型高分突破（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）专题9 周期数列 微点1 周期数列的定义、性质和判定方法
2 . 对于无穷数列
，若
，
，则称数列
是数列
的“收缩数列”，其中
分别表示
中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为
，数列是数列的“收缩数列”
（1）若
求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若
，求所有满足该条件的数列．
，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”（1）若
求数列的前n项和；（2）证明：数列
的“收缩数列”仍是；（3）若
，求所有满足该条件的数列．
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2020-09-03更新
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1077次组卷
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4卷引用：专题01 集合与逻辑(模拟练)
3 . 若项数为
且
的有穷数列满足：
，则称数列具有“性质
”．
(1)判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
(2)设
，2，
，
，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列
为常数列”；
(3)已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续
个正整数1，2，，的一个排列，且
，求的所有可能的值．
且的有穷数列满足：，则称数列具有“性质”．(1)判断下列数列是否具有“性质
”，并说明理由；①1，2，4，3；②2，4，8，16．
(2)设
，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；(3)已知数列
具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值．
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4 . 对于数对序列
，记
，
，其中
表示
和
两个数中最大的数.
（1）对于数对序列
，求
的值；
（2）记
为
，
，
，
四个数中最小的数，对于由两个数对
组成的数对序列
和
，试分别对
和
两种情况比较
和
的大小；
（3）在由五个数对
组成的所有数对序列中，写出一个数对序列
使
最小，并写出的值.(只需写出结论).
，记，，其中表示和两个数中最大的数.（1）对于数对序列
，求的值；（2）记
为，，，四个数中最小的数，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和两种情况比较和的大小；（3）在由五个数对
组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.(只需写出结论).
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2016-12-03更新
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3798次组卷
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7卷引用：沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第二部分 走近高考 第四章 数列与数学归纳法高考题选
解题方法
5 . 定义：符号
表示实数
、
、
中最大的一个数；
表示、、中最小的一个数. 如，
，
.设
是一个给定的正整数
，数列共有项，记
，
.由
的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若
，则
.理由：，则
.又
，
，于是，有.试解答下列问题：
（1）若数列的通项公式为
，求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，
，求通项公式；
（3）试构造项数为的数列，满足
，其中是等比数列，
是公差不为零的等差数列，且数列
是单调递减数列，并说明理由.（答案不唯一）
表示实数、、中最大的一个数；表示、、中最小的一个数. 如，，.设是一个给定的正整数，数列共有项，记， .由的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若，则.理由：，则.又，，于是，有.试解答下列问题：（1）若数列
的通项公式为，求数列的通项公式；（2）若数列
满足，，求通项公式；（3）试构造项数为
的数列，满足，其中是等比数列，是公差不为零的等差数列，且数列是单调递减数列，并说明理由.（答案不唯一）
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2024高三·上海·专题练习
6 . 数列各项均为实数，对任意满足
，定义: 行列式
且行列式
为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A．， | B． ， | C． ， | D．， |
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7 . 对于项数为m的数列{an}，若满足：1≤a1＜a2＜⋯＜am，且对任意1≤i≤j≤m，aiaj与
中至少有一个是{an}中的项，则称{an}具有性质P．
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
(2)如果数列a1，a2，a3，a4具有性质P，求证：a1＝1，a4＝a2a3；
(3)如果数列{an}具有性质P，且项数为大于等于5的奇数．判断{an}是否为等比数列？并说明理由．
中至少有一个是{an}中的项，则称{an}具有性质P．(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
(2)如果数列a1，a2，a3，a4具有性质P，求证：a1＝1，a4＝a2a3；
(3)如果数列{an}具有性质P，且项数为大于等于5的奇数．判断{an}是否为等比数列？并说明理由．
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2022-11-06更新
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421次组卷
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7卷引用：2023年上海高考数学模拟卷02
（已下线）2023年上海高考数学模拟卷02上海市虹口区2022届高三二模数学试题（已下线）第08讲 等差、等比数列-2（已下线）专题06数列必考题型分类训练-3（已下线）模块九 数列-2上海市位育中学2023届高三下学期开学考试数学试题（已下线）信息必刷卷04（北京专用）
8 . 已知项数为
的数列满足如下条件：①
；②
若数列满足
其中
则称为的“伴随数列”.
（I）数列
是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
（II）若为的“伴随数列”，证明：
；
（III）已知数列存在“伴随数列”
且
求
的最大值.
的数列满足如下条件：①；②若数列满足其中则称为的“伴随数列”.（I）数列
是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II）若
为的“伴随数列”，证明：；（III）已知数列
存在“伴随数列”且求的最大值.
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2020-05-28更新
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918次组卷
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8卷引用：数学-6月大数据精选模拟卷05（上海卷）（满分冲刺篇）
（已下线）数学-6月大数据精选模拟卷05（上海卷）（满分冲刺篇）（已下线）专题21 数列的综合应用-2020年高考数学母题题源解密（北京专版）2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题2020届北京市平谷区高三第二次模拟考试数学试题北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试（二模）数学试题（已下线）北京市第四中学2021届高三下学期开学考试数学试题北京市陈经纶中学2020届高三下学期开学考试数学试题北京市第三十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题
9 . 若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的
（
）倍，则称该数列具有性质
.
（1）已知数列
，
，
具有性质
，求实数
的取值范围；
（2）删除数列
，
，，
，中的第3项，第6项，，第
项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列
，且数列的前项和为
，若数列
具有性质，试求实数的最大值；
（3）记
（
），如果
（
），证明：“
”的充要条件是“存在数列
具有性质
，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数
，使得数列收敛于
；（Ⅲ）
（
，这里
）”.
（）倍，则称该数列具有性质.（1）已知数列
，，具有性质，求实数的取值范围；（2）删除数列
，，，，中的第3项，第6项，，第项，，余下的项按原来顺序组成一个新数列，且数列的前项和为，若数列具有性质，试求实数的最大值；（3）记
（），如果（），证明：“”的充要条件是“存在数列具有性质，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数，使得数列收敛于；（Ⅲ）（，这里）”.
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10 . 若数列满足：对任意
，只有有限个正整数，使得
成立，记这样的的个数为
，则得到一有限的数列
，例如，若数列是1，2，3，…，，…，则得数列是0，1，2，…，
，…，已知对任意的，
，则
（ ）
满足：对任意，只有有限个正整数，使得成立，记这样的的个数为，则得到一有限的数列，例如，若数列是1，2，3，…，，…，则得数列是0，1，2，…，，…，已知对任意的，，则（ ）A． | B．2014 | C． | D．2015 |
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2020-12-02更新
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818次组卷
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6卷引用：课时22 数列、等差数列、等比数列-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）
（已下线）课时22 数列、等差数列、等比数列-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）（已下线）课时25 数列新定义-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）上海市青浦高级中学2021届高三三模数学试题上海市青浦区2021届高三三模数学试题（已下线）第4章《数列》 培优测试卷（一）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）江西省萍乡市2021届高三上期数学期中复习试卷（理科）试题
