1 . 若数列
，
，…，
满足：①
；②
；③任意
项的算术平均值是整数，则称数列
为“
数列”.
（1）若数列1，
，
，13为“数列”，写出所有可能的，；
（2）是否存在正整数
，
，
，
，
，
，使得
，
，
，
，
，
为“数列”？若存在，请写出一组，，，，，并验证，若不存在，请说明理由；
（3）若“数列”中，，，…，
中，
，
，求
的最大值.
，，…，满足：①；②；③任意项的算术平均值是整数，则称数列为“数列”.（1）若数列1，
，，13为“数列”，写出所有可能的，；（2）是否存在正整数
，，，，，，使得，，，，，为“数列”？若存在，请写出一组，，，，，并验证，若不存在，请说明理由；（3）若“
数列”中，，，…，中，，，求的最大值.
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2 . 若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“α集”．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合
，判断集合C是否是α集，证明你的结论．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合
，判断集合C是否是α集，证明你的结论．
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3 . 已知无穷实数列
，
，若存在
，使得对任意，
恒成立，则称为有界数列；记
，若存在
，使得对任意
，
恒成立，则称为有界变差数列.
（1）已知无穷数列的通项公式为
，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；
（2）已知首项为
，公比为实数
的等比数列
为有界变差数列，求的取值范围；
（3）已知两个单调递增的无穷数列
和
都为有界数列，记
，，证明：数列
为有界变差数列．
，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列.（1）已知无穷数列
的通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；（2）已知首项为
，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；（3）已知两个单调递增的无穷数列
和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列．
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解题方法
4 . 对于数列
、
、
，若
对任意的恒成立，则称数列、、
具有性质
.设
；
（1）证明：数列、、具有性质的一个充分条件为：
；
（2）若
，、、满足（1）的充分条件，求
；
（3）若、、
的每一项均为有理数，但每一项均为无理数，试给出数列、、具有性质的充要条件.若在此条件下令
，试探究数列的一些性质（如单调性，极限，的最大项等）.
、、，若对任意的恒成立，则称数列、、具有性质.设；（1）证明：数列
、、具有性质的一个充分条件为：；（2）若
，、、满足（1）的充分条件，求；（3）若
、、的每一项均为有理数，但每一项均为无理数，试给出数列、、具有性质的充要条件.若在此条件下令，试探究数列的一些性质（如单调性，极限，的最大项等）.
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解题方法
5 . 设正数数列的前项和为
，数列
的前项之积为
，且
，则
______ ．
的前项和为，数列的前项之积为，且，则
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6 . 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是
，接下来的两项是，
，再接下来的三项是，，
，依此类推，若该数列的前n项和为2的整数幂，如
，
，
，则称
，
，中的
为“一对佳数”，当
时，首次出现的“一对佳数”是________ .
，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，若该数列的前n项和为2的整数幂，如，，，则称，，中的为“一对佳数”，当时，首次出现的“一对佳数”是
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2021-05-29更新
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368次组卷
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3卷引用：考向17 数列新定义-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）
解题方法
7 . 在数列中，若存在常数
，使得任意
都有
，则称是
数列．
（1）若数列
是数列，且
，
，写出所有满足条件的数列的前4项；
（2）已知数列是等比数列，求证：是数列的充要条件是其公比为
；
（3）若数列满足
，
，
，设数列
的前项和为，是否存在正整数
、，使得不等式
对一切都成立？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．
中，若存在常数，使得任意都有，则称是数列．（1）若数列
是数列，且，，写出所有满足条件的数列的前4项；（2）已知数列
是等比数列，求证：是数列的充要条件是其公比为；（3）若
数列满足，，，设数列的前项和为，是否存在正整数、，使得不等式对一切都成立？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．
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名校
解题方法
8 . 若实数列满足条件
，
、
、
，则称是一个“凸数列”.
（1）判断数列
和
是否为“凸数列”?
（2）若是一个“凸数列”，证明：对正整数、
、，当
时，有
；
（3）若是一个“凸数列”，证明：对
，有
.
满足条件，、、，则称是一个“凸数列”.（1）判断数列
和是否为“凸数列”?（2）若
是一个“凸数列”，证明：对正整数、、，当时，有；（3）若
是一个“凸数列”，证明：对，有.
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名校
解题方法
9 . 设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的
，均有
（k是常数且
）成立，则称数列为“
数列”．
（1）若数列为“
数列”，求数列的通项公式；
（2）是否存在数列既是“数列”，也是“
数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值，若不存在，请说明理由．
的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．（1）若数列
为“数列”，求数列的通项公式；（2）是否存在数列
既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值，若不存在，请说明理由．
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2021-09-23更新
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353次组卷
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3卷引用：考向15 等比数列-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）
（已下线）考向15 等比数列-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）上海市交通大学附属中学2022届高三上学期开学摸底考数学试题沪教版(2020) 一轮复习 堂堂清 第四单元 4.6 数列的应用（一）
10 . 设项数为4的数列{an}满足：ai∈{﹣1，0，1}，i∈{1，2，3，4}且对任意1≤k＜l≤4，k∈N，l∈N，都有|ak+ak+1+⋯+al|≤1，则这样的数列{an}共有__ 个．
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2022-11-06更新
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220次组卷
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6卷引用：6.1乘法原理与加法原理（分层练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）
（已下线）6.1乘法原理与加法原理（分层练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）上海市奉贤区2022届高三下学期二模数学试题（已下线）第41练 分步加法和分步乘法计数原理（已下线）第10讲 数学归纳法与数列综合应用 - 1（已下线）专题06数列必考题型分类训练-3（已下线）第7章 计数原理 单元综合检测（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）
