1 . 已知公比大于1的等比数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和.

2 . 已知数列满足．记的前n项和为．
(1)求；
(2)设，若表示不小于x的最小整数，如，试判断是否存在正整数n，使得？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说出理由．

4 . 已知数列为等差数列，公差为，前项和为.
(1)若，求的值；
(2)若首项中恰有6项在区间内，求的范围；
(3)若首项，公差，集合，是否存在一个新数列，满足①此新数列不是常数列；②此新数列中任意一项；③此新数列从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.(注:数叫做数和数的调和平均数).

5 . 二进制规定：每个二进制数由若干个0，1组成，且最高位数字必须为1.若在二进制中，是所有n位二进制数构成的集合，对于表示和对应位置上数字不同的位置个数.例如当时，，当时，.
(1)若，求所有满足，且的的个数；
(2)若，对于集合中所有，求的和；
(3)当时，对于集合中所有和，求的和.

6 . 对于数列，若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为数列．
(1)首项为1，公比为的等比数列是否为数列？请说明理由；
(2)设是数列的前项和，若数列是数列，那么数列是否为数列？若是，请说明理由；若不是，请举出一个例子；
(3)若数列，都是数列，求证：数列是数列．

7 . 已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）.
(1)求的值；
(2)求当（），试用、的代数式表示()；
(3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数.