1 . 设集合
由满足下列两个条件的数列
构成：①
；②存在实数
，使
为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列、
中，其中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，试判断数列、是否为集合中的元素；
（Ⅱ）设
是等差数列，
是其前
项和，
，
，证明数列
，并写出的取值范围；
（Ⅲ）设数列
，对于满足条件的的最小值
，都有
求证：数列
单调递增．
由满足下列两个条件的数列构成：①；②存在实数，使为正整数）（Ⅰ）在只有5项的有限数列
、中，其中，，，，，，，，，，试判断数列、是否为集合中的元素；（Ⅱ）设
是等差数列，是其前项和，，，证明数列，并写出的取值范围；（Ⅲ）设数列
，对于满足条件的的最小值，都有求证：数列单调递增．
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名校
解题方法
2 . 已知数列
是由正整数组成的无穷数列，若存在常数
，使得
，对任意的
成立，则称数列具有性质
．
（1）分别判断下列数列是否具有性质
；（直接写出结论）①
；②
（2）若数列满足
，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列的充分必要条件；
（3）已知数列中，且
．若数列具有性质
，求数列的通项公式．
是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质．（1）分别判断下列数列
是否具有性质；（直接写出结论）①；②（2）若数列
满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列的充分必要条件；（3）已知数列
中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式．
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2021-08-26更新
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403次组卷
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4卷引用：北京市第一七一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题
北京市第一七一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）高二数学开学摸底考02（上海专用）（测试范围：必修三+选修一）-2023-2024学年高二数学下学期开学摸底考试卷2020届北京市海淀区高三一模数学试题（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大题型）（练习）
3 . 数列中，给定正整数
，
．定义：数列满足
，称数列的前
项单调不增．
（1）若数列通项公式为：
，
，求
；
（2）若数列满足：
，
，
，求证： 
的充分必要条件是数列的前
项单调不增；
（3）给定正整数
，若数列满足：
，
，且数列的前项和为
，求
的最大值与最小值．
中，给定正整数，．定义：数列满足，称数列的前项单调不增．（1）若数列
通项公式为：，，求；（2）若数列
满足：，，，求证： 的充分必要条件是数列的前项单调不增；（3）给定正整数
，若数列满足：，，且数列的前项和为，求的最大值与最小值．
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4 . 已知数列
：
，
，…，
（
且
）满足：①
；②
（
，
，…，
）.记
.
（1）直接写出
的所有可能值；
（2）证明：
的充要条件是
；
（3）若，求
的所有可能值的和.
：，，…，（且）满足：①；②（，，…，）.记.（1）直接写出
的所有可能值；（2）证明：
的充要条件是；（3）若
，求的所有可能值的和.
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5 . 已知数列的通项公式为
，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记
为该数阵从左至右的n列以及从上到下的n行共
个数的和．
… … … … …
（1）求
，猜想并写出（直接写出）；
（2）记
，数列
的前n项和为
，证明：
．
的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记为该数阵从左至右的n列以及从上到下的n行共个数的和．… … … … …
（1）求
，猜想并写出（直接写出）；（2）记
，数列的前n项和为，证明：．
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6 . 对于函数
，若
，则称为数列的“本源函数”
（1）设数列的“本源函数”为
，且，
，求实数m的值；
（2）已知数列的“本源函数”为
，，
，在数列
中删除数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列
，求
；
（3）记
表示不超过实数u的最大整数.若数列的“本源函数”为
，且，
，
为数列的前n项的和.证明：对满足
的任意实数a，b，数列
中有无穷多项属于开区间
.
，若，则称为数列的“本源函数”（1）设数列
的“本源函数”为，且，，求实数m的值；（2）已知数列
的“本源函数”为，，，在数列中删除数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，求；（3）记
表示不超过实数u的最大整数.若数列的“本源函数”为，且，，为数列的前n项的和.证明：对满足的任意实数a，b，数列中有无穷多项属于开区间.
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7 . 若数列满足条件：存在正整数，使得
对一切
，
都成立，则称数列为级等差数列．
（1）若数列为1级等差数列，，
，求数列的前项和；
（2）已知数列为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求
，
及数列的前2021项和
；
（3）若
（
为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合．
满足条件：存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为级等差数列．（1）若数列
为1级等差数列，，，求数列的前项和；（2）已知数列
为2级等差数列，且前四项分别为2，0，4，3，求，及数列的前2021项和；（3）若
（为常数），且是3级等差数列，求所有可能值的集合．
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2021-08-07更新
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472次组卷
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3卷引用：4.2.3 等差数列的前n项和（1）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）
（已下线）4.2.3 等差数列的前n项和（1）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）上海市闵行区（闵行中学、文绮中学）2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题上海市莘庄中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷
名校
8 . 若数列满足“对任意正整数
，
，
，都存在正整数，使得
”，则称具有“性质
”．
（1）判断各项均等于
的常数列是否具有“性质”，并说明理由；
（2）若公比为2的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；
（3）证明首项为2的无穷等差数列具有“性质”的充要条件是公差
或
．
满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称具有“性质”．（1）判断各项均等于
的常数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若公比为2的无穷等比数列
具有“性质”，求首项的值；（3）证明首项为2的无穷等差数列
具有“性质”的充要条件是公差或．
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名校
解题方法
9 . 已知数列的前项和
，令
，
.
（1）求､的通项公式；
（2）数列中去掉数列中的项，剩下的项按原来顺序排成新数列，求
的值.
的前项和，令，.（1）求
､的通项公式；（2）数列
中去掉数列中的项，剩下的项按原来顺序排成新数列，求的值.
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2021-07-18更新
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344次组卷
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2卷引用：湖南省娄底市双峰县第一中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题
名校
10 . 设等差数列的各项均为整数，其公差
，
.
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
，且
，，
，
，…，
，…（
）成等比数列，求
；
（Ⅲ）若，，，，…，，…（）成等比数列，求
的取值集合.
的各项均为整数，其公差，.（Ⅰ）若
，求的值；（Ⅱ）若
，且，，，，…，，…（）成等比数列，求；（Ⅲ）若
，，，，…，，…（）成等比数列，求的取值集合.
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