1 . 已知数列A：a₁，a₂，…，a_N的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
(1)①若数列A：1，2，4，5，求集合T，并写出的值；
②若数列A：1，3，x，y，且，，求数列A和集合T；
(2)若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
(3)请你判断是否存在最大值，并说明理由．

2 . 设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.
(1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围;
(2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.

3 . 对于数列A：a₁，a₂，⋅⋅⋅，a_n，若满足a_i∈{0,1}（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，n），则称数列A为“游戏数列”定义变换T：T将“游戏数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0例如A：1，0，1，则T（A）：1，0，0，1，1，0，设A是“游戏数列”，令A_k＝T（A_k﹣1），k＝1，2，3，⋅⋅⋅
(1)数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，求数列A₁，A₀；
(2)若数列A₀共有5项，则数列A₂中连续两项相等的数对至少有几对？并请说明理由；
(3)若A₀为0，1，记数列A_k中连续两项都是0的数对个数为l_k，k∈N，求l_k关于k的表达式．

4 . 将平面直角坐标系中的一列点．记为，设，其中为与y轴正方向相同的单位向量若对任意的正整数n，都有，则称为T点列．
(1)判断点列是否为T点列，直接写出结果；
(2)求证是T点列：
(3)若为T点列，且．任取其中连续三点，证明为钝角三角形．

5 . 设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.
(1)若数列的前n项和，证明：是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求的值；

6 . 1.设数列中前两项、给定，若对于每个正整数，均存在正整数使得，则称数列为“数列”.
(1)若数列为、的等比数列，当时，试问与是否相等，并说明数列是否为“数列”﹔
(2)讨论首项为、公差为的等差数列是否为“数列”，并说明理由；
(3)已知数列为“数列”，且，，记，其中正整数，对于每个正整数，当正整数分别取1、2、…、时，的最大值记为，最小值记为，设，当正整数满足时，比较与的大小，并求出的最大值.

7 . 已知数列的前和记其中表示不超过的最大整数，如
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和
(3)求数列的项和.

9 . 若有限项数列满足，则称数列为数列．记．
(1)写出两个满足，的数列；
(2)若，，求证：数列是递增数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在的数列，满足？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，请说明理由．

10 . 对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“有序减差数列”.设数列为递减的等比数列，其前项和为，且.
(1)求数列的通项公式，并判断数列是否为“有序减差数列”；
(2)设，若数列是“有序减差数列”，求实数的取值范围.