1 . 已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围.

2 . 设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．

3 . 已知双曲线上点到两定点的距离分别为，，且满足．
(1)求双曲线的方程；
(2)设经过点且不垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，是直线上关于轴对称的两点，求证：直线与的交点在定直线上．

5 . 已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A（2，0），B（4，3）两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点P（2，1），设过点P的直线l交C于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于点G，H，当时，求直线l的斜率.

6 . 已知双曲线C：的离心率为，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过点作直线l交双曲线C于A，B（不与点P重合）两点，且直线PA与PB关于直线对称，求点P到直线l的距离.

7 . 已知双曲线的离心率为，左焦点到双曲线的渐近线的距离为，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，过点作直线与双曲线的左、右支分别交于点、，且点、关于原点对称．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，试用表示点的横坐标；
(3)求证：直线过定点．

8 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与交于两点（与点不重合），直线分别与直线交于点，求的值.

9 . 已知直线与双曲线的右支交于不同的两点和，与轴交于点，且直线上存在一点满足（不与重合）．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：当变化时，点的纵坐标为定值．

10 . 已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M作l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.