1 . 抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，点到x轴的距离等于.
（1）求抛物线方程；
（2）过与垂直的直线和过与轴垂直的直线相交于点，与轴交于点，求点的纵坐标的取值范围.

2 . 如图，已知抛物线焦点为，过上一点作切线，交轴于点，过点作直线交于点.

（1）证明：；
（2）设直线，的斜率为，的面积为，若，求的最小值.

3 . 已知，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，动点的轨迹为曲线.过轴上一点的直线交曲线于，两点.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）证明：存在唯一的一点，使得为常数，并确定点的坐标.

4 . 经过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与交于，两点，若线段的中点的横坐标为7，那么__________．

5 . 已知抛物线的焦点为，过点的直线l与抛物线相交于、两点，为坐标原点，直线、与抛物线的准线分别相交于点，，则的最小值为_____________.

6 . 抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，且，则______.

7 . 已知点是抛物线：上的一点，其焦点为点，且抛物线在点处的切线交圆：于不同的两点，.
（1）若点，求的值；
（2）设点为弦的中点，焦点关于圆心的对称点为，求的取值范围.

8 . 已知抛物线的焦点为，若△的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“核心三角形”.
（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？请说明理由；
（2）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为4，求直线的方程；
（3）已知△是“核心三角形”，证明：点的横坐标小于2.

9 . 已知抛物线的焦点到直线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与交于，两点，交轴交于点．若，求直线的方程．

10 . 直线是过点的动直线，当与圆相切时，同时也和抛物线相切.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于不同的两点，与圆交于不同的两点A、B，面积为，面积为，当时，求直线的方程．