1 . 已知定义在上的函数满足：对任意实数，均有，则下列结论中，错误的是（       ）

A．存在使且

B．可能为常数函数

C．若，则

D．若，且时，，则解集为

2 . 数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次数字的传输相互独立，且．
(1)当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率；
(2)用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则．
（ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求；
（ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值．

3 . 某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表．

	红色	蓝色	合计
男	20	25	45
女	40	15	55
合计	60	40	100

(1)是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；
(2)在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子，
①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率；
②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望．
附：，其中．

α	0.1	0.05	0.01
	2.706	3.841	6.635

4 . 某校高一新生共1000人，男女比例为1：1，经统计身高大于170cm的学生共600人，其中女生200人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了10人的身高（单位：cm）和体重（单位：kg）作为一个样本，所得样本数据如下表所示：

编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高	164	165	170	172	173	174	176	177	179	180
体重	57	58	65	65	90	70	75	76	80	84

(1)在对这10个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取1人检测
（ⅰ）若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于74kg的概率；
（ⅱ）求第一次抽取的学生体重大于79kg且第二次抽取的学生身高大于175cm的概率；
(2)由表中数据的散点图和残差分析，编号为5的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为0.802，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性（相关系数r保留三位小数）．
参考公式及数据：样本相关系数
，，，，．

5 . 2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：

   

(1)请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；
(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.

6 . 如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（       ）

A．点的运动轨迹为一条线段

B．直线与所成角可以为

C．三棱锥的体积是定值

D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为

7 . 图柱的轴截面为正方形，则下列结论正确的有（       ）

A．圆柱内切球的半径与图柱底面半径相等

B．圆柱内切球的表面积与圆柱表面积比为

C．圆柱内接圆锥的表面积与圆柱表面积比为

D．圆柱内切球的体积与圆柱体积比为

8 . 现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到三个不同的社区参加公益活动，每个社区至少分配一名同学.设事件“恰有两人在同一个社区”，事件“甲同学和乙同学在同一个社区”，事件“丙同学和丁同学在同一个社区”，则下面说法正确的是（       ）

A．事件与相互独立	B．事件与是互斥事件
C．事件与相互独立	D．事件与是对立事件

9 . 已知n行n列的数表中，满足：，.若数表满足当时，总有，则称此数表为典型数表，此时记.
(1)若数表，，请直接写出M，N是否是典型数表；
(2)当时，是否存在典型数表A使得，若存在，请写出一个数表A；若不存在，请说明理由；
(3)若数表A为典型数表，求的最小值（直接写出结果，不需要证明）.

10 . 三个人猜拳决定胜利者，三个人分别可以出“石头”，“剪刀”，“布”，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”，例如，当一个人出“布”，另两个人出“石头”时，只用一回正好决定胜利者;当一人出“石头”，另两人出“布”时，则淘汰出“石头”的人，三人猜拳输的人被淘汰，直到决出一个胜利者为止.
(1)求一次猜拳决出胜利者的概率；
(2)求在第回猜拳决出胜利者的概率.