1 . 已知函数.
(1)判断在上的单调性，并证明；
(2)若，且，，都为正数，求证：.

2 . 已知函数．
(1)当时，直接写出函数的单调区间（不需证明）；
(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(3)当时，若函数在上既有最大值又有最小值，求证：恒成立．

3 . 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
(1)试证明：设，，若，在上分别以M，N为上界，求证：函数在上以为上界.
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.

4 . 已知是定义在上的奇函数，且．
(1)求和的值；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)求证：的值域为．

5 . 设，函数（e为常数，）．
(1)若，求证：函数为奇函数；
(2)若．
①证明函数的单调性；
②对任意，都有成立，求实数a的取值范围．

6 . 如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
(1)证明榶水不等式；
(2)已知是三角形的三边，求证：．

7 . 设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明.

8 . 已知集合
(1)判断8，9，10是否属于集合；
(2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件：
(3)记集合，，求证：.

9 . 问题：已知均为正实数，且，求证：.
证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由；
(2)求的最小值，并求出使得最小的的值.

10 . 如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

   

(1)求证：平面；
(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．