1 . 已知以为直径的半圆有一个内接正方形，其边长为1（如图）．设，作数列；求证：．

2 . 设1980年底我国人口以10亿计算．
(1)如果我国人口每年比上年平均递增，那么到2000年底将达到多少？
(2)要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？

下列对数值可供选用：

3 . 已知三棱锥A-BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是和．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么______．

4 . 设是一个已知圆的内接矩形，过作该圆的切线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点．求证：．

5 . 甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有公斤，乙有公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为，乙中纯酒精与水之比为．问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？

6 . 已知曲线．在它对应于的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

7 . 设O为复平面的原点，和为复平面内的两动点，并且满足：

（1）和所对应的复数的辐角分别为定值和（）；
（2）的面积为定值S.
求的重心Z所对应的复数的模的最小值．

8 . 如图，设平面和相交于，它们所成的一个二面角为，为平面内的一点，为面内的一点，已知直线是直线在平面内的射影，并且在上．又设与平面所成的角为，，线段的长为，求线段的长．

9 . 如图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．

(1)输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？（一对轧辊减薄率）
(2)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为．为了便于检修，请计算并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）.

轧辊序号	1	2	3	4
疵点间距				1600

10 . 复平面上点A，B对应的复数分别为，点P对应的复数为z，的辐角主值为．当点P在以原点为圆心，1为半径的上半圆周（不包括两个端点）上运动时，求的最小值．