1 . 已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆
上，求的值．

2 . 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，求证：△的周长是定值．

3 . 设，曲线在点处的切线与直线垂直．
（1）求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）求证：．

4 . 已知，设函数．
（Ⅰ）若在 上无极值，求的值；
（Ⅱ）若存在，使得是在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围；
（Ⅲ）若（为自然对数的底数）对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取值范围．

5 . 设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足．其中．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求证：数列的前项的和（）．

6 . 已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．

7 . 已知正项数列的首项，前项和满足．
（Ⅰ）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

8 . 已知函数，，其中为自然对数的底数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）试探究当时，方程的解的个数，并说明理由.

9 . 某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元．设余下工程的总费用为万元．
(1)试将表示成的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使最小，其最小值为多少？

10 . 如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.