1 . 已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.

2 . 用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．

3 . 如图所示，四棱锥中，是矩形，三角形为等腰直角三角形，，面⊥面，，，，分别为和的中点.

   

(1)求证：平面；
(2)证明：平面⊥平面；
(3)求四棱锥的体积.

4 . 证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．

5 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

6 . 证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
已知：，，，，求证：．

      

7 . 已知曲线C：．
(1)求证：不论m取何实数，曲线C恒过一定点；
(2)证明当时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上；
(3)若曲线C与轴相切，求m的值．

8 . 已知分别是空间四边形的边的中点.

   

(1)用向量法证明四点共面；
(2)用向量法证明：平面；
(3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有.

9 . 已知等差数列的前n项和为．
(1)求证：，，成等差数列；
(2)求证：，，成等差数列；
(3)试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明．

10 . 利用向量证明：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面（即垂直于这个平面中的任何直线）
已知：如图，、是平面内的两条相交直线，直线满足，．求证：．