1 . 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第
层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列
．的通项公式；
(2)证明：当
时，
(3)若数列
满足
，对于
，证明：
．
层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．
的通项公式；(2)证明：当
时，(3)若数列
满足，对于，证明：．
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解题方法
2 . 我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数
的零点
的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线
，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为
，其在
处的切线为
，现计划再建一条总干线
，其中m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出
的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线
，计划将仓库中直线与
之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、
分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．
的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出
的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；(2)在直角坐标系中，设直线
，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．
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2023-03-30更新
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1252次组卷
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6卷引用：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三第二次高考模拟数学试题
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解题方法
3 . 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：
①（其中
内角
所对的边分别为
为的面积）
(1)证明公式①；
(2)已知三条边
的高分别为
，求
.
①（其中内角所对的边分别为为的面积）(1)证明公式①；
(2)已知
三条边的高分别为，求.
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4 . 勾股定理是一个基本的几何定理，中国《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明.相传它是在商代由商高发现，故又人有称之为商高定理.我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”.西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理.毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数､弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……，如勾为21，则弦为（ ）
| A．217 | B．219 | C．221 | D．223 |
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2021-07-02更新
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332次组卷
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3卷引用：黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（文）试题
5 . 祖暅(公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家).他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图将底面直径皆为
，高皆为
的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面
上，用平行于平面的平面于距平面任意高
处截得到
及
两截面，可以证明
总成立据此，短轴长为
，长轴为
的椭球体的体积是（ ）
.
，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面的平面于距平面任意高处截得到及两截面，可以证明总成立据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是（ ）.A． | B． | C． | D． |
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2021-05-06更新
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457次组卷
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4卷引用：黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三二模数学（文科）试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三二模数学（文科）试题河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2021届高三适应性考试数学试题（已下线）考前题型猜猜猜（终极预测）-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）高考新题型-圆锥曲线
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6 . 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2
勾股+（股-勾）
=4朱实+黄实=弦实，化简，得勾+股=弦，设勾股中勾股比为
，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（ ）（参考数据：
）
勾股+（股-勾）=4朱实+黄实=弦实，化简，得勾+股=弦，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（ ）（参考数据：）| A．866 | B．500 | C．300 | D．134 |
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2021-03-13更新
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607次组卷
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26卷引用：黑龙江省大庆铁人中学2021届高三第四次模拟考试数学（理）试题
黑龙江省大庆铁人中学2021届高三第四次模拟考试数学（理）试题2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学（文）试卷辽宁省锦州市2017届高三质量检测（一）数学（理）试题辽宁省锦州市2017届高三质量检测（一）数学（文）试题【全国百强校】安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试数学（文）试题【市级联考】内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一）数学（理工类）试题2017届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学（理）试卷12017届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学（理）试卷22019年10月广东省广州市天河区高考数学一模（文）试题2019届安徽省安庆一中高三下学期6月第四次模拟考试数学(文)试题2020届湖南省岳阳市高三第二次模拟数学(文)试题2019届内蒙古呼伦贝尔市海拉尔区高考模拟统一考试卷(一)文科数学试题2019届湖南省怀化市高三第二次模拟数学(文)试题（已下线）河南省安阳市2017届高三第一次模拟考试数学（文）试题黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题【全国百强校】山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学（理）试题【全国百强校】山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学（文）试题山西省大同市2020届高三开学学情调研测试试题理科数学（已下线）11.高考新题型[文] -《备战2020年高考精选考点专项突破题集》专题11 高考新题型［理］-《备战2020年高考精选考点专项突破题集》四川省宜宾市第四中学校2020届高三下学期第四学月考试数学（文）试题广西南宁第三中学2020-2021学年度高二上学期段考理科数学试题安徽省滁州市定远县重点中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学(理)试题广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期期中段考数学（文）试题广西南宁市第三中学2020-2021学年高二上学期期中段考数学（理）试题（已下线）练习9 2021年高考数学二轮小题专练（新高考）
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7 . 经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为
的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为
（其中
为圆周率）”某试验者用一根长度为2cm的针，在画有一组间距为3cm平行线所在的平面上投掷了n次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出的近似值为
，则
（ ）
的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为（其中为圆周率）”某试验者用一根长度为2cm的针，在画有一组间距为3cm平行线所在的平面上投掷了n次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出的近似值为，则（ ）| A．300 | B．400 | C．500 | D．600 |
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2021-03-01更新
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430次组卷
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7卷引用：黑龙江省哈尔滨九中2021届高三五模数学（文）试题
8 . 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.如图是赵爽弦图及注文.弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱色及黄色，其面积称为朱实、黄实.由2×勾×股+（股－勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简得勾2+股2=弦2.若图中勾股形的勾股比为
，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（ ）（参考数据：
，
）
，向弦图内随机抛掷100颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（ ）（参考数据：，）| A．2 | B．4 | C．6 | D．8 |
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2020-03-20更新
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393次组卷
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4卷引用：2020届黑龙江省大庆实验中学高三第一次模拟数学（文）试题
名校
9 . 在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为
,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为
,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为A． | B． | C． | D． |
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2018-04-24更新
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518次组卷
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7卷引用：黑龙江省大庆市2018届高三第二次教学质量检测理科数学试题
