1 . 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

   

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.

2 . 已知焦点在轴上的椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，坐标原点为.，，三点满足，且为椭圆与圆：的一个切点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为过的直线，与圆交于两点，求的取值范围．

3 . 一个盒子中有编号为1，2，3，且质地均匀的三枚硬币，第一次取出1号硬币，掷出后记录其得到的是正面或反面.从第二次开始的游戏规则是：①从盒子中剩下的硬币中随机取出一枚，并将上一次取出的硬币放回盒子中；②投掷取出的硬币，记录得到的是正面或反面.
(1)求第三次取出的硬币是1号硬币的概率；
(2)求第三次取出的硬币是2号硬币的概率；
(3)求第五次取出的硬币是1号硬币并投掷得到正面的概率.

4 . 某种香梨的重量（单位：）服从正态分布，将该种香梨按照其重量及对应的售价进行分拣，分为4类依次记为.已知，售价最高，为10元；，售价为8元；，售价为6元；其余的为，售价为5元.
(1)任选1个香梨，求其重量大于的概率；
(2)以表示香梨的售价（单位：元），写出的分布列，并估计该种香梨售价的平均值.
附：若，则，，.

5 . 一家蛋糕店某种蛋糕每天的销售量互不影响，其日销售量的频率分布直方图如图示，以频率估计概率，则该种蛋糕（       ）

   

A．日销售量在150个以上的概率为0.3，日销售量的平均值约为140.07个

B．30天内销售量不低于150个的天数约为9

C．连续3天中出现连续2天销售量不高于150个，另外1天高于150个的概率为0.294

D．一周之内连续3天出现前2天销售量连续不高于150个，第3天高于150个的情况的次数期望为0.735

6 . 已知两个非零向量，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质：
①；
②；
③．
(1)利用以上性质证明：；
(2)设到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明：
①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；

②在平面直角坐标系中，记向量，，△ABC各顶点坐标分别为，，，求证：△ABC面积为．

7 . 一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．
(1)求该款行李箱密码的不同种数；
(2)记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．

8 . 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表:

性能指标	66	77	80	88	96
产品件数	10	20	48	19	3

(1)求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值.
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件.
①求这件零件是次品的概率；
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，.

9 . 定义：对一个棱锥的各个顶点染色，若每一条棱的两个端点均不同色，则称之为“多彩棱锥”.若用（）种颜色给某（）棱锥染色，出现“多彩棱锥”的数量记作.
(1)当，时，试求的值；
(2)当，时，试求的值；
(3)结合前两问的解题思路，对任意的正整数（）（），请写出的运算公式，并证明.

10 . （1）解方程:
（2）计算
（3）解不等式.