1 . （1）设集合．对于给定有穷数列，及序列，定义变换T：将数列A的第项加1，得到数列；将数列的第列加1，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．若为偶数，证明：“存在序列Ω，使得为常数列”的充要条件为“”．
（2）对函数和点，定义．若的图象上存在点，使是的最小值，则称点P是的图象上和M的最近点．设的定义域是R，且存在导函数．函数定义域是R，且对任意，恒有．点．若对任意，的图象上总存在点P同时是和、的最近点，试判断的单调性．

2 . 某AI兴趣小组研究一款生活废品处理机器人，其工作程序依次分为三个步骤：分拣，归类，处理，每个步骤完成后进人下一个步骤．若分拣步骤成功完成，则该步骤得分为20分，否则得分为0分；若归类步骤成功完成，则该步骤得分为30分，否则得分为0分；若处理步骤成功完成，则该步骤得分为50分，否则得分为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作．已知初始状态该款机器人成功完成各步骤的概率均为．经过一轮深度学习后该款机器人成功完成各步骤的概率依次为，，．设该款机器人完成三个步骤后的总得分为X.
(1)初始状态下，求随机变量X的数学期望；
(2)经过一轮深度学习后，该款机器人是否合格（当数学期望时，达到合格水平）?

3 . 如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．

   

(1)求这个圆台型花盆的体积；
(2)现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14）

4 . 最大公因数，也称最大公约数，指两个或多个正整数公有约数中最大的一个，a，b的最大公约数记为，a，b，c的最大公约数记为.与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数叫做这几个数的最小公倍数，a，b的最小公倍数记为，a，b，c的最小公倍数记为.例如，.
(1)求的值；
(2)若数列满足，，求数列的前n项和；
(3)若公差为整数的等差数列满足，，证明：.

5 . 设为函数的导函数，若为函数的极值点，则为曲线的拐点，亦称函数的拐点．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)当时，证明：函数的两个极值和拐点纵坐标可构成等差数列．

6 . 某大学强基计划招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，现有甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是．
(1)求甲同学通过该校强基招生面试的概率；
(2)求甲、乙两位同学中有且只有一位同学通过强基招生面试的概率；
(3)求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率．

7 . 如果对于平面上任意一个向量，按照某种确定的关系f，都有唯一确定的平面向量和它对应，那么就称f为平面向量的一个变换，记作（或）记，，若（i），都有；（ii），都有恒为定值，且恒大于等于0或恒小于0.则称f是一个旋转变换.
(1)，，判断并说明f，g是否是旋转变换；
(2)已知f，g是旋转变换，，，求出一个满足条件的，，并计算；
(3)设，.求S中点到直线l的最短距离（对于旋转变换f，有.

8 . 某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
(1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
(2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望．

9 . 不透明的袋子中装有大小相同的白球和彩球各1个，将“连续两次从袋子中有放回地摸出1个小球”记为一次试验，若两次均摸到彩球，则试验成功并终止试验，否则在袋子中添加一个相同的白球，然后进行下一次试验．
(1)若最多只能进行3次试验，设试验终止时进行的次数为随机变量，求的分布列与数学期望；
(2)若试验可以一直进行下去，第次试验成功的概率记为，求证：．

10 . 当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；
(3)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率.