1 . 随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）
   
(1)根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关？

是否使用扫地机器人 年龄	是	否

(2)若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，求这3人中年龄在人数X的分布列与数学期望．
附：．

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

2 . 我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：）
(1)求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；
(2)若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？

3 . 请你回答以下问题：
(1)古典概型的特征有哪些？
(2)举出一个在日常生活中利用概率决策的例子．

4 . 居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

   

(1)在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；
(2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；
(3)若小区物业服务满意度（满意度＝）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）

5 . （1）请你用文字语言和符号语言两种形式叙述余弦定理；
（2）请你用向量法证明余弦定理.

6 . 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：

立定跳远单项等级	高三男生	高三女生
优秀	及以上	及以上
良好	~	~
及格	~	~
不及格	及以下	及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：

男生

女生

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
(2)从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；
(3)从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）

7 . 世界上的能源消耗有是由摩擦和磨损造成的，一般机械设备中约有80%的零件因磨损而失效报废．零件磨损是由多方面因素造成的，某机械设备的零件随着使用时间的增加，“磨损指数”也在增加．现根据相关统计，得到一组数据如下表．

使用时间t/年	1	2	3	4	5
磨损指数r/%	4.5	5.6	6.4	6.8	7.2

(1)求r关于t的线性回归方程；
(2)在每使用完一整年后，工人会对该零件进行检测分析，若该零件在下一年使用过程中的“磨损指数”超过10%，则该零件需要在本次检测后立即进行报废处理．根据（1）中的回归方程，估计该零件使用多少年后需要进行报废处理？
参考数据：，．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

8 . 某学校记录了某学期40名学生期中考试的数学成绩和期末考试的数学成绩，得到的频数分布表如下：
期中考试的数学成绩频数分布表

数学成绩
频数	4	14	16	4	2

期末考试的数学成绩频数分布表

数学成绩
频数	6	10	12	8	4

(1)估计这40名学生期中考试的数学成绩小于100分的概率；
(2)估计这40名学生期末考试的数学成绩的平均分比期中考试数学成绩的平均分提高多少分．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

9 . 一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
(1)若，求的数学期望；
(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．

10 . 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．