1 . （1）已知集合，求实数的取值范围；
（2）在上定义运算“”：，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

3 . 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表．

时刻（t）	0:00	3:00	6:00	9:00	12:00	15:00	18:00	21:00	24:00
水深值（s）	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0

据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述．
（1）根据表中数据，做出函数简图：

（2）结合数据、图像等因素，选用你认为恰当的三角函数，求出解析式；并估计11:00时的水深值；
（3）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能停多久？

4 . 若数列满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.
（1）判断各项均等于的常数列是否具有“性质”，并说明理由；
（2）若公比为的无穷等比数列具有“性质”，求首项的值；
（3）若首项的无穷等差数列具有“性质”，求公差的值.

5 . 已知无穷数列{a_n}，对于m∈N^*，若{a_n}同时满足以下三个条件，则称数列{a_n}具有性质P(m)．
条件①：a_n＞0（n＝1，2，…）；
条件②：存在常数T＞0，使得a_n≤T（n＝1，2，…）；
条件③：a_n＋a_n+1＝ma_n＋2（n＝1，2，…）．
（1）若a_n＝5＋4（n＝1，2，…），且数列{a_n}具有性质P（m），直接写出m的值和一个T的值；
（2）是否存在具有性质P（1）的数列{a_n}？若存在，求数列{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由；
（3）设数列{a_n}具有性质P（m），且各项均为正整数，求数列{a_n}的通项公式．

7 . 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．
（1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值；
（2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”；
（3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数．

8 . 在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.
（1）若=(-1，3)，=(2，3)，求；
（2）若=(2，1)，位置向量的终点在直线x+y+1=0上，求位置向量终点轨迹方程；
（3）对任意两个向量，求证∶.

9 . 阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.我们来看一个应用函数解析式研究对应函数图象形状的例子.对于函数，我们可以通过解析式来研究它的图象和性质，如：图象特征：
（1）在函数中，由，可以推测出，对应的图象不经过轴，即图象与轴不相交；由，可以推测出，对应的图象不经过轴，即图象与轴不相交；
（2）在函数中，当时，当时，可以推测出，对应的图象能分布在第一､三象限；
（3）在函数中，若，则，且当逐渐增大时，逐渐减小，可推测出，对应的图象越向右越靠近轴；若，则，且当逐渐减小时，逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近轴；
（4）由函数可知，即函数是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称.
结合以上性质，逐步猜想出函数对应的图象，如图所示：

尝试类比，探究函数的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试作出函数对应的图象.

10 . 设集合，且S中至少有两个元素，若集合T满足以下三个条件：①，且T中至少有两个元素；②对于任意，当，都有；③对于任意，若，则；则称集合为集合的“耦合集”.
（1）若集合，求集合的“耦合集”；
（2）若集合存在“耦合集”，集合，且，求证：对于任意，有；
（3）设集合，且，求集合S的“耦合集”T中元素的个数.