1 . 已知抛物线，动圆，为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.
(1)若求的最小值；
(2)若过圆心作抛物线的两条切线，切点分别为.
（Ⅰ）求证：直线过定点；
（Ⅱ）若线段的中点为，连交抛物线于点，记的面积为，求的表达式及其最小值.

2 . 有一个摸球游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中．
(1)若、，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；
(2)若，．
①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记为第n次是甲摸球的概率，求；
②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为，失败的概率为，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记作．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到这里的，，．求．

3 . 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为（6,6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E.

(1)求点E的坐标；求抛物线的函数解析式；
(2)点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标；
(3)连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标.

4 . 如果和除以所得余数相同，则称对模同余，记作，
若集合，集合，现从集合中的个数中可以抽出个数，
（）且，使这个数平均分为组，若存在一组数对 (三者不相等）且满足恰好能被整除，对模同余，则为“灵魂莲华集合”，为“灵魂莲华数对”
(1)判断为“灵魂莲华集合”
(2)若，判断有多少组数对为灵魂莲华数对
(3)现从素数集合中任取三个不同的数，若构成公差为8的等差数列，求证：无论且为任何集合，最多有一对满足条件的为灵魂莲华数对．

5 . 下列各组中，是的什么条件？
(1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形；
(2)：与全等，：与的周长相等；
(3)：x是2的倍数，：x是6的倍数；
(4)：集合，，，：集合；
(5)：，：．

6 . 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

   

(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，. )
(2)（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.

7 . 取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．
(1)直接写出和的值；
(2)设，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；
(3)对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数的指数．

8 . 我们把满足下列条件的数列称为数列：
①数列的每一项都是正偶数；
②存在正奇数m，使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数．
(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列；
(2)若数列满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．

9 . 为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表．

组别	身高（cm）
A
B
C
D
E

   

根据图表中信息，回答下列问题：
(1)在样本中，男生身高的中位数落在________组（填组别序号），女生身高在B组的有________人；
(2)在样本中，身高在之间的共有________人，身高人数最多的在________组（填组别序号）；
(3)已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在之间的学生约有多少人？

10 . 甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年．后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的甲、乙、丙各8个产品使用寿命的统计结果如下（单位：年）：
甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12；
乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12；
丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10．
(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表：

\	平均数	众数	中位数
甲厂
乙厂
丙厂

(2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量；
(3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？