1 . 设正整数
，对
格点链中的
个结点用红（
）、黄（
）、蓝（
）三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图．若对剩余的
个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．
，对格点链中的个结点用红（）、黄（）、蓝（）三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图．若对剩余的个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．
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2 . 已知椭圆
，经过点
，离心率为
．过椭圆
的右焦点作斜率为
的直线
，与椭圆交于
、两点，记
、
的斜率分别为
、
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
，求实数．
，经过点，离心率为．过椭圆的右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于、两点，记、的斜率分别为、．（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
，求实数．
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3 . 给定数列
．证明：存在唯一分解
，其中，数列
非负，
单调不减，且
，
．
．证明：存在唯一分解，其中，数列非负，单调不减，且，．
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4 . 设集合
．用
表示集合中所有元素的倒数之和．证明：
．
．用表示集合中所有元素的倒数之和．证明：．
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5 . 已知数列
满足
，
.
（1）证明：为正整数数列；
（2）是否存在
，使得
？并说明理由.
满足，.（1）证明：
为正整数数列；（2）是否存在
，使得？并说明理由.
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6 . 设
、
，函数
.若对任意实数
，方程
有两个相异的实根，求实数的取值范围.
、，函数.若对任意实数，方程有两个相异的实根，求实数的取值范围.
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7 . 设为正整数.若数字
构成的排列
满足
（1）
；
（2）
；
（3）
，
则称此排列为“N型”的.记
为所有N型排列的个数.
（1）求
、
的值；
（2）证明：对任意正整数，均为奇数.
为正整数.若数字构成的排列满足（1）
；（2）
；（3）
，则称此排列为“N型”的.记
为所有N型排列的个数.（1）求
、的值；（2）证明：对任意正整数
，均为奇数.
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8 . 已知椭圆
的离心率为
，右焦点为圆
的圆心.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若直线与曲线、
各只有一个公共点，记直线与圆的公共点为，求点的坐标.
的离心率为，右焦点为圆的圆心.（1）求椭圆
的方程；（2）若直线
与曲线、各只有一个公共点，记直线与圆的公共点为，求点的坐标.
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9 . 已知数列、
满足
，
，
.证明：
.
、满足，，.证明：.
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10 . 已知A为抛物线
上的动点，定点
，以AB为直径作
C，若C截直线
所得的弦长为定值，求此弦长及实数k的值.
上的动点，定点，以AB为直径作C，若C截直线所得的弦长为定值，求此弦长及实数k的值.
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