1 . 设实数x1，x2，…，x2018满足
(n=1，2，…，2016)和
，证明：
.
(n=1，2，…，2016)和，证明：.
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2 . 设
，且对任意实数b均有
，求a的取值范围.
，且对任意实数b均有，求a的取值范围.
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3 . 如图所示将同心圆环均匀分成n(
)格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？
)格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？
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4 . 已知动直线l与圆O：
相切，与椭圆
相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.
相切，与椭圆相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.
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5 . 将2n(
)个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明： 
)个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明：
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6 . 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体
是一个“刍甍”，四边形
为矩形，
与
都是正三角形，
，
.
求证：
面；
求直线
与平面
所成角的正弦值.
是一个“刍甍”，四边形为矩形，与都是正三角形，，.求证：面；求直线与平面所成角的正弦值.
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2018-12-10更新
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358次组卷
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3卷引用：2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
7 . 设函数
（
、
）．对于任意的
，若
、
满足
，
，则
．求正实数的最大值．
（、）．对于任意的，若、满足，，则．求正实数的最大值．
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8 . 设正整数，对
格点链中的
个结点用红（
）、黄（
）、蓝（
）三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图．若对剩余的
个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．
，对格点链中的个结点用红（）、黄（）、蓝（）三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图．若对剩余的个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．
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9 . 给定数列
．证明：存在唯一分解
，其中，数列
非负，
单调不减，且
，
．
．证明：存在唯一分解，其中，数列非负，单调不减，且，．
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10 . 已知椭圆
，经过点
，离心率为
．过椭圆
的右焦点作斜率为
的直线
，与椭圆交于
、两点，记
、
的斜率分别为
、
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
，求实数．
，经过点，离心率为．过椭圆的右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于、两点，记、的斜率分别为、．（1）求椭圆的标准方程；
（2）若
，求实数．
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