1 . 为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在一个不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两白球，可获得价值(单位：百元)代金券；摸到两红球，可获得价值(单位：百元)代金券(,均为整数).
(1)若，，求每位员工平均可获得多少代金券（即数学期望，单位：百元）；
(2)若已知每位员工平均可获得5.4(单位：百元)代金券，试估计手气最好者获得至多多少代金券(单位：百元).

2 . 注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对“豆角亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的关系”进行研究，得出了y与x具有线性相关关系的结论．现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表：

某种液体肥料每亩使用量x（千克）	2	4	5	6	8
豆角亩产量的增加量y（百千克）	3	4	4	5	5

(1)求豆角亩产量的增加量y对该液体肥料每亩使用量x的线性回归方程．预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？
(2)若豆角亩产量的增加量不低于5百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田中随机选出亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．参考数据：，.

3 . 已知三个内角的对应边分别为，且，则（     ）

A．若，则

B．若，则在上投影向量的模长为1

C．若，，则角有两解

D．若，则

4 . 若是样本数据的平均数，则（     ）

A．的极差等于的极差

B．的中位数等于的中位数

C．的众数等于的众数

D．的方差大于的方差

5 . 为丰富和活跃学校教师业余文化生活，提高教师身体素质，展现教师自我风采，增进教师沟通交流，阳泉一中举办了2024年度第一届青年教师团建暨羽毛球比赛活动，已知其决赛在小胡和小张之间进行，每场比赛均能分出胜负，已知该学校为本次决赛提供了1000元奖金，并规定:若其中一人赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时该人获得全部奖金;若比赛意外终止时无人先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金.若每场比赛小胡赢的概率为，每场比赛相互独立.
(1)在已进行的5场比赛中小胡赢了3场，若比赛继续进行到有人先赢4场，求小胡赢得全部奖金的概率；
(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），记小胡获得奖金数为，求的分布列和数学期望.

6 . 坐标平面上的点也可表示为，其中为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与OP重合的旋转角.将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换.
(1)证明旋转变换公式：并利用该公式，求点绕原点逆时针旋转后的点的坐标；
(2)旋转变换建立了平面上的每个点到的对应关系.利用旋转变换，可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.
（i）求将曲线绕原点顺时针旋转后得到的曲线方程，并求该曲线的离心率；
（ii）已知曲线，点，直线AB交曲线于，两点，作的外角平分线交直线AB于点，求|FM|的最小值.

7 . 桌上有除颜色外其他没有任何区别的7个黑球和7个白球，现将3个黑球和4个白球装入不透明的袋中.第一次从袋中任取一个球，若取出的是黑球则放入一个白球，若取出的是白球则放入一个黑球，本次操作完成.第二次起每次取球、放球的规则和第一次相同.
(1)求第2次取出黑球的概率;
(2)记操作完成次后袋中黑球的个数为变量.
（i）求的概率分布列及数学期望;
（ii）求的数学期望.

8 . 中国古代历法是中国劳动人民智慧的结晶，《尚书·尧典》记载“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁”，指出闰年有366天.元代郭守敬创造了中国古代最精密的历法——《授时历》，规定一年为365.2425天，和现行公历格里高利历是一样的，但比它早了300多年.现行公历闰年是如下确定的:①能被4整除，但不能被100整除;②能被400整除，满足以上两个条件之一的年份均为闰年，则公元年，距上一个闰年的年数为_____.

9 . 2024海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位:百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据:），可顶测下午4点时入口游客的人流量为（       ）

A．9.6

B．11.0

C．11.3

D．12.0

10 . 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．