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解题方法
1 . 假设视网膜为一个平面,光在空气中不折射,眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理: 如图,地面内有圆,其圆心在线段上,且与线段交于不与重合的点,地面,且,点为人眼所在处,视网膜平面与直线垂直. 过点作平面平行于视网膜平面. 科学家已经证明,这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹(令为曲线)为椭圆或圆,且由于小孔成像,曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的,则当视网膜平面上的圆的影像为圆时,圆的半径为____________ . 当圆的半径满足时,视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为____________ .
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2 . 请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.
(1)已知圆,圆过点且与圆外切. 设点的轨迹为曲线.
①已知曲线与曲线无交点,求的最大值(用表示);
②若记(2)中题①的最大值为,圆和曲线相交于、两点,曲线与轴交于点,求四边形的面积的最大值,并求出此时的值. (参考公式:,其中,当且仅当时取等号)
(2)如图,椭圆的左右焦点分别为、,其上动点到的距离最大值和最小值之积为,且椭圆的离心率为.①求椭圆的标准方程;
②已知椭圆外有一点,过点作椭圆的两条切线,且两切线斜率之积为.是否存在合适的点,使得?若存在,请写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)已知圆,圆过点且与圆外切. 设点的轨迹为曲线.
①已知曲线与曲线无交点,求的最大值(用表示);
②若记(2)中题①的最大值为,圆和曲线相交于、两点,曲线与轴交于点,求四边形的面积的最大值,并求出此时的值. (参考公式:,其中,当且仅当时取等号)
(2)如图,椭圆的左右焦点分别为、,其上动点到的距离最大值和最小值之积为,且椭圆的离心率为.①求椭圆的标准方程;
②已知椭圆外有一点,过点作椭圆的两条切线,且两切线斜率之积为.是否存在合适的点,使得?若存在,请写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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3 . 已知圆,圆,点为圆上的一点.
(1)若过点作圆的切线交圆于、两点,且弦长度最大值与最小值之积为,求的值;
(2)当时,圆上有、两点满足,求线段长度的最大值.
(1)若过点作圆的切线交圆于、两点,且弦长度最大值与最小值之积为,求的值;
(2)当时,圆上有、两点满足,求线段长度的最大值.
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解题方法
4 . 如图,在棱长为的正方体上,点为体对角线靠近点的三等分点,点为棱 的中点,点在平面上,且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中(含边界),则下列说法正确的是( )
A.平面与底面的夹角余弦值为; |
B.点到平面的距离为; |
C.点到点的距离最大值为; |
D.设平面与正方体棱的交点为、… 、,则边形最长的对角线的长度大于. |
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5 . 设集合{为两个非零向量可能的夹角},集合{为两条异面直线可能的夹角},则下列说法错误的是( )
A. | B. |
C. | D. |
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6 . 对某社团进行系统抽样,编号为,,,,则抽取的序号不可能是( )
A.,,, | B.,,, |
C.,,, | D.,,, |
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解题方法
7 . 四名同学参加社会实践,他们中的每个人都可以从三个项目中随机选择一个参加,且每人的选择相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为( )
A. | B. | C. | D. |
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8 . 采购经理指数(PMI),是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一,具有较强的预测、预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业(制造业和非制造业)产出变化情况的综合指数,指数高于时,反映企业生产经营活动较上月扩张;低于,则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示:
根据该折线图判断,下列结论正确的是( )
A.2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于 |
B.2023年各月,我国企业生产经营活动景气水平持续扩张 |
C.2023年第3月至12月,我国企业生产经营活动景气水平持续收缩 |
D.2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差 |
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9 . 某中学新高一经过前期模拟选科摸底情况确定开设物化生,物化政,物化地及政史地四个模块供高一学生选择(物化生,物化政,物化地统称为物理类,政史地称为历史类),下图是该校高一1000名学生选择各个模块扇形统计图.已知该校学生选择物理类男女比例为,选择历史类男女比例为.
(1)完成列联表,并判断能否有99%把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”?
(2)从该校选择物理类学生中按照分层抽样从物化生、物化政、物化地模块中抽取15人,再从这15人中随机抽取2人参加物理知识趣味问答比赛,用X表示被抽到选择物化地模块的学生人数,求X的分布列及数学期望.
附:.
男生 | 女生 | 合计 | |
物理类 | |||
历史类 | |||
合计 | 1000 |
(1)完成列联表,并判断能否有99%把握认为“该校学生选择物理类是否与性别有关”?
(2)从该校选择物理类学生中按照分层抽样从物化生、物化政、物化地模块中抽取15人,再从这15人中随机抽取2人参加物理知识趣味问答比赛,用X表示被抽到选择物化地模块的学生人数,求X的分布列及数学期望.
附:.
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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10 . 边长为4的正方形的中心为,以为圆心的单位圆上有两动点满足.若点为正方形边上的一个动点.(1)求的值;
(2)求的最小值;
(3)若,求的最大值.
(2)求的最小值;
(3)若,求的最大值.
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