1 . 在中，，为边上的中线，点在边上，设．
(1)当时，求的值；
(2)若为的角平分线，且点也在边上，求的值；
(3)在（2）的条件下，若，求为何值时，最短？

2 . 在的二项式展开式的所有项中，依次不放回地抽取两项，且每一项被取到的可能性相等．
(1)在第一次取到有理项的条件下，求第二次取到无理项的概率；
(2)记取到有理项的项数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

3 . 随着人工智能的进一步发展，逐渐进入大众视野．是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家企业开展调查，统计每家企业一年内应用的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：

应用广泛性	招聘人数减少	招聘人数增加	合计
广泛应用	60	50	110
没有广泛应用	40	50	90
合计	100	100	200

(1)根据小概率的独立性检验，是否有99%的把握认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性有关？
(2)用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值．
附：，其中．

	0.1	0.05	0.01
	2.706	3.841	6.635

4 . 如图所示，红星高级中学要在一块扇形空地上修建一个矩形花园，矩形的四个顶点均在边界上，扇形的半径，，，，分别交于，.

(1)当时，求边的长；
(2)当矩形的面积取最大值时，求的值.

5 . 在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量.
(1)设为函数的有序相伴向量，求实数的值；
(2)若的有序相伴向量为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
(3)将（1）中所得函数的图象向左平移得到函数.已知，，请问在函数图象上是否存在一点，使得成立.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

6 . 已知随机变量，随机变量，若，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

7 . 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（       ）

A．26

B．25

C．24

D．23

8 . 以下说法正确的是（       ）

A．把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有84种

B．

C．的二项展开式中系数最大的项为

D．已知是定义在上函数，是的导数，当时，若，则

9 . 甲、乙、丙、丁四位同学的座位要进行调整，且四位同学的座位就在他们四人之间随机调整（每人不能坐回自己的原位），则调整座位之后，甲和乙的座位恰好交换的概率为____________

10 . 对于1个字母串shanhushu，改变这个字母串中的字母位置顺序，可以得到______个新的字母串.