名校
1 . 设
，
．已知函数
的图像关于直线
成轴对称．
(1)求函数的表达式；
(2)若
，且
为锐角，求
；
(3)设
，
．若函数
在区间
上恰有奇数个零点，求
的值以及零点的个数．
，．已知函数的图像关于直线成轴对称．(1)求函数
的表达式；(2)若
，且为锐角，求；(3)设
，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数．
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名校
2 . 已知函数
，其中
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，函数
图像向右平移
个单位，得到函数
的图像，
是的一个零点，若函数在
且
上恰好有4个零点，求
的最小值；
(3)令
，对任意实数
，当
时，有
成立.将函数
的图像向左平移
个单位得到函数
，已知函数
的最大值为10，求满足条件的
的最小值.
，其中.(1)若
，求的值；(2)若
，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值；(3)令
，对任意实数，当时，有成立.将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值.
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名校
3 . 已知
，设函数
的表达式为
（其中
）
(1)设
，
，求曲线在点
处的切线方程；
(2)设
，
，集合
，记
，若
在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围；
(3)当
，
，
时，记
，其中n为正整数．求证：
．
，设函数的表达式为（其中）(1)设
，，求曲线在点处的切线方程；(2)设
，，集合，记，若在D上有两个不同的极值点，求b的取值范围；(3)当
，，时，记，其中n为正整数．求证：．
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4 . 在某一个十字路口，每次亮绿灯的时长为
（
为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？
该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：
1．通过路口的车辆长度都相等；
2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；
3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；
4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟
时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；
5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．
1．车长设为
，取
，车距设为
，取
，第一辆车离停车线距离为
；
2．加速度记作，取
，汽车在匀加速运动
时段行驶路程
；
3．前后车启动延迟时间记为
，取；
4．第
辆车启动延迟时间为
；
5．该十字路口限速
，换算为
；
6．第辆车到达最高限速的时间为
取
．
设第辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为
．根据上述假设与数据，
，依次类推．请你解决下列问题：
(1)求
；（结果保留一位小数，单位：
）
(2)对于第辆车，写出函数的分段表达式；
(3)求在亮绿灯的内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．
（为时间单位：秒），那么每次绿灯亮时，在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口？该问题涉及车长、车距、车速，前方堵塞状况包括行人非机动车等因素．为了将问题简化，在路况车况驾驶状态等都良好的前提下，提出如下基本假设：
1．通过路口的车辆长度都相等；
2．等待通行时，前后相邻两辆车的车距都相等；
3．绿灯亮时，汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动，到达最高限速汽车开始匀速行驶；
4．离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟
时间开始动起来．前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等，在延迟时间内，车辆保持静止；5．按照交通安全法规行驶，行车秩序良好，没有碰擦或堵塞等现象发生．
1．车长设为
，取，车距设为，取，第一辆车离停车线距离为；2．加速度记作
，取，汽车在匀加速运动时段行驶路程；3．前后车启动延迟时间记为
，取；4．第
辆车启动延迟时间为；5．该十字路口限速
，换算为；6．第
辆车到达最高限速的时间为取．设第
辆车在绿灯持续时间内驶离停车线的距离为．根据上述假设与数据，，依次类推．请你解决下列问题：(1)求
；（结果保留一位小数，单位：）(2)对于第
辆车，写出函数的分段表达式；(3)求在亮绿灯的
内，这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口．
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5 . 已知函数
．
(1)当
时，求
，并判断函数零点的个数；
(2)当
时，有三个零点
，记
，
，2，3．证明：①
；②
．
参考公式：
．
．(1)当
时，求，并判断函数零点的个数；(2)当
时，有三个零点，记，，2，3．证明：①；②．参考公式：
．
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6 . 设
且
，若关于
的方程
有两个实数根，则的取值范围是______ .
且，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是
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解题方法
7 . 已知函数
，
的零点分别是
与
．
(1)若，解不等式
；
(2)已知，
①证明：
；
②若，满足
，求
的最小值．
，的零点分别是与．(1)若
，解不等式；(2)已知
，①证明：
；②若
，满足，求的最小值．
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8 . 利普希兹条件是数学中一个关于函数光滑性的重要概念，设定义在
上的函数，若对于中任意两点
，都有
，则称是“
-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数
，
在
上是否为“1-利普希兹条件函数”；
(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设
，若存在
，使
是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程
在
上有两个不相等实根，求的取值范围.
定义在上的函数，若对于中任意两点，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数
，在上是否为“1-利普希兹条件函数”；(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设
，若存在，使是“2024-利普希兹条件函数”，且关于的方程在上有两个不相等实根，求的取值范围.
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解题方法
9 . 已知集合
（其中
是虚数单位）
，定义：
，
.
(1)计算
的值；
(2)记
，若
，且满足
，求
的最大值，并写出一组符合题意的
、
；
(3)若
，且满足
，
，记
，求证：当时，函数
必存在唯一的零点
，且当
时，
．
（其中是虚数单位），定义：，.(1)计算
的值；(2)记
，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、；(3)若
，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，．
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10 . 在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力
（
表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为
．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力
，（
表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为
，请帮助小明补充完善数学建模的过程：
(1)对于数学建模，我们需要给出合理假设.
假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为
的匀速运动；疲劳阶段做
的减速运动
假设二：_________________
(2)提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数
；
提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？
(3)总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议.
（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程：(1)对于数学建模，我们需要给出合理假设.
假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为
的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动假设二：_________________
(2)提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数
；提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？
(3)总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议.
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