名校
解题方法
1 . 设函数
的定义域为
.若存在常数
，
，使得对于任意
，
成立，则称函数具有性质
.
（1）判断函数
和
具有性质？(结论不要求证明)
（2）若函数具有性质，且其对应的
，
.已知当
时，
，求函数在区间
上的最大值；
（3）若函数
具有性质，且直线
为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.
的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.（1）判断函数
和具有性质？(结论不要求证明)（2）若函数
具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；（3）若函数
具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.
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2021-08-01更新
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636次组卷
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3卷引用：北京市西城区2020-2021学年高一下学期期末数学试题
2 . 现定义：设
是非零实常数，若对于任意的
，都有
，则称函数
为“关于的偶型函数”
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间
上单调递增，求证在区间
上单调递减
（3）设定义域为的“关于
的偶型函数”是奇函数，若
，请猜测
的值，并用数学归纳法证明你的结论
是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明
（2）设定义域为的“关于的
偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减（3）设定义域为
的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论
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2019-12-31更新
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344次组卷
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5卷引用：第二章 推理与证明（基础过关）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教版选修2-2）
（已下线）第二章 推理与证明（基础过关）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教版选修2-2）上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题2020届上海市静安区高三一模（期末）数学试题（已下线）第四章++数列1（基础过关）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教A版2019选择性必修第二册）（已下线）热点02 函数及其性质-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）
3 . 已知定理：“若
为常数，
满足
，则函数
的图象关于点
中心对称”．设函数
，定义域为A．
（1）试证明
的图象关于点
成中心对称；
（2）当
时，求证：
；
（3）对于给定的
，设计构造过程：
，…，
．如果
，构造过程将继续下去；如果
，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．
为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．（1）试证明
的图象关于点成中心对称；（2）当
时，求证：；（3）对于给定的
，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．
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2016-12-03更新
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730次组卷
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3卷引用：第五章 函数概念与性质（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（苏教版2019必修第一册）
（已下线）第五章 函数概念与性质（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷（苏教版2019必修第一册）2015届江苏省如东高中高三上学期第9周周练理科数学试卷人教A版(2019) 必修第一册 突围者 第三章 综合拓展
解题方法
4 . 对于函数
，函数图象上任意一点A关于点P的对称点
仍在函数图象上，那么称点P为函数图象的对称中心.如果
足够大时，图象上的点到直线
的距离比任意给定的正数还要小，那么称函数图象无限趋近于该直线，也称直线是函数图象的非垂直渐近线.
(1)研究函数
的性质，填表但无需过程：
(2)根据（1），在所给的坐标系中，画出大致图象，如有对称中心，则在图象中标为点P，如有非垂直渐近线，用虚线画出;
①如果函数的图象有对称中心，请根据题设的定义来证明，如果没有，请说明理由；
②请根据题设的定义，证明：函数的图象在x轴上方，且无限趋近于x轴，但永不相交.
，函数图象上任意一点A关于点P的对称点仍在函数图象上，那么称点P为函数图象的对称中心.如果足够大时，图象上的点到直线的距离比任意给定的正数还要小，那么称函数图象无限趋近于该直线，也称直线是函数图象的非垂直渐近线.(1)研究函数
的性质，填表但无需过程：| 值域 | |
| 单调性 | |
| 奇偶性 | |
| 图象对称中心 | |
| 图象非垂直渐近线 |
(2)根据（1），在所给的坐标系中，画出大致图象，如有对称中心，则在图象中标为点P，如有非垂直渐近线，用虚线画出;
①如果函数
的图象有对称中心，请根据题设的定义来证明，如果没有，请说明理由；②请根据题设的定义，证明：函数
的图象在x轴上方，且无限趋近于x轴，但永不相交.
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名校
解题方法
5 . “函数
的图象关于点
对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意
，都有
，若函数的图象关于点
对称，且当
时，
(1)求
的值；
(2)设函数
①证明函数的图象关于点
称；
②若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数的取值范围.
的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时， (1)求
的值；(2)设函数
①证明函数
的图象关于点称；②若对任意
，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
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2023-11-19更新
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453次组卷
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5卷引用：北京市朝阳区2020-2021学年高一上学期期末数学试题
北京市朝阳区2020-2021学年高一上学期期末数学试题山东省烟台栖霞市第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题北京市第一六一中学回龙观学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（已下线）高一上学期期末复习【第三章 函数的概念与性质】十大题型归纳（拔尖篇）-举一反三系列广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025届高三第一次月考数学试题
名校
6 . 已知
，函数
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若
，求证：函数
的图象关于点
成中心对称；
(3)若方程
的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
，函数．(1)若
，求不等式的解集；(2)若
，求证：函数的图象关于点成中心对称；(3)若方程
的解集恰有一个元素，求a的取值范围．
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2022高三·全国·专题练习
真题
解题方法
7 . 设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线
对称，对任意
，都有
，且
．
(1)求
；
(2)证明设
是周期函数．
是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且．(1)求
；(2)证明设
是周期函数．
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2022-11-09更新
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717次组卷
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6卷引用：专题5.2 函数对称性与周期问题 B卷-2021-2022学年高一数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A版必修第一册）
（已下线）专题5.2 函数对称性与周期问题 B卷-2021-2022学年高一数学单元卷模拟（易中难）（2019人教A版必修第一册）（已下线）专题3.9—函数的奇偶性、单调性、周期性-2022届高三数学一轮复习精讲精练（已下线）专题2.10 函数的周期性与对称性-重难点题型精练-2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）（已下线）第三章 函数专练8—周期性、对称性、奇偶性-2022届高三数学一轮复习2001年普通高等学校招生考试数学（文）试题（全国卷）（已下线）考点06 函数的周期性 2024届高考数学考点总动员
名校
解题方法
8 . 已知函数
，
．
（1）解方程：
（2）令
，
，求证：
；
（3）若
是
上的奇函数，且
对任意实数恒成立，求实数
的取值范围．
，．（1）解方程：
（2）令
，，求证：；（3）若
是上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
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2021-10-22更新
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685次组卷
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3卷引用：上海市建平中学2022届高三上学期10月月考数学试题
解题方法
9 . 200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，
，100的“对称”特征，给出了计算
的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前
项和公式的过程．事实上，高斯算法的依据是：若函数
的图象关于点
对称，则
对恒成立．已知函数
．
(1)求
的值；
(2)设
，
，记数列
的前项和为
，求证
．
，100的“对称”特征，给出了计算的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前项和公式的过程．事实上，高斯算法的依据是：若函数的图象关于点对称，则对恒成立．已知函数．(1)求
的值；(2)设
，，记数列的前项和为，求证．
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10 . 设
，若函数定义域内的任意一个都满足
，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数
.
(1)证明：函数的图象关于点
对称；
(2)已知函数
的图象关于点
对称，当
时，
.若对任意的
，总存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足.已知函数.(1)证明：函数
的图象关于点对称；(2)已知函数
的图象关于点对称，当时，.若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
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2021-11-21更新
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312次组卷
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2卷引用：山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题
