1 . 已知幂的基本不等式：当，时，．请利用此基本不等式解决下列相关问题：
(1)当，时，求的取值范围；
(2)当，时，求证：；
(3)利用（2）证明对数函数的单调性：当时，对数函数在上是严格增函数．

2 . 已知函数.
(1)若且为偶函数，求实数的值；
(2)，求解函数的零点，并证明其中大于1的那个零点是无理数；
(3)若，且，设的最小值为，求函数及其定义域，并证明其在定义域内严格单调递减.

3 . 设函数定义域为，对于下列命题：
①令，则函数为偶函数；
②若存在常数，使得对任意的，都有成立，则是的最大值；
③若对于任意的，都有成立，则在上严格递减；
④若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有，则函数在区间上不存在零点.
其中，所有真命题的序号为______.

4 . 已知函数与的定义域为R，若对任意区间，存在且，使，则是的生成函数．
(1)求证：是的生成函数；
(2)若是的生成函数，判断并证明的单调性；
(3)若是的生成函数，实数，求的一个生成函数．

5 . 以下说法为真命题的个数是（       ）
①当时，总有，则函数在区间上是严格增函数；
②当且时，总有，则是的最小值；
③如果在区间上的图像是一段连续不断的曲线，如果，则函数在上没有零点．

A．0

B．1

C．2

D．3

6 . 若函数对定义域内的任意x都满足，则称具有性质．
(1)判断是否具有性质M，并证明在上是严格减函数；
(2)已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左边），验证函数具有性质并证明；
(3)已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．

7 . 已知下列五个命题：①若为减函数，则为增函数；②若为增函数，则函数在其定义域内为减函数；③函数，在区间上都是奇函数，则在区间是偶函数；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1；⑤函数的图像关于直线对称.其中真命题个数的是（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

8 . 已知是定义在上的函数，对于上任意给定的两个自变量的值，当时，如果总有，就称函数为“可逆函数”.
(1)判断函数是否为“可逆函数”，并说明理由；
(2)已知函数在区间上是增函数，证明：是“可逆函数”；
(3)证明：函数是“可逆函数”的充要条件为“”.

9 . 已知、是定义在上的函数，且在上是严格增函数，设满足，且对于中的任意两个相异的实数、，恒有．
(1)求证：在上是严格增函数；
(2)设，，，求证：．

10 . 若函数满足，则称函数为“倒函数”．
(1)判断函数和是否为倒函数，并说明理由；
(2)若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是倒函数；
(3)若为倒函数，求实数m、n的值；判定函数的单调性，并说明理由．