1 . 甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）

2 . 为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.
(1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；
(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？

4 . 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，设，，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.

(1)求A、B两点间的距离；
(2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.

5 . 为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元．国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评．2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”．设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立．
(1)记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为，求；
(2)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元．现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．

6 . 某大学实验室有n（）管血液样本，其中m（）管中有病毒X，现需要把含有病毒X的血液样本检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐管检验，则需检验n次；
方案二：混合检验，将n管血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有病毒X，则n管血液全部不含有病毒X；若检验结果含有病毒X，就要对这n管血液再逐管检验，此时检验次数总共为n+1．
(1)假设n＝6，m＝2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两管血液含有病毒X的概率；
(2)现对n管血液进行检验，已知每管血液含有病毒X的概率均为p．若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η．
（i）若ξ与η的期望相等，试求p关于n的函数解析式p＝；
（ii）若且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望．求n的最大值．
参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln5≈1.61，ln7＝1.95

7 . 某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费．假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为．
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
(2)若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
(3)①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值．
参考数据：

8 . 公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）
（1）若，甲､乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件）．

9 . 2021年某出版社对投稿某期刊的600篇文章进行评选，每篇文章送3位专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的文章，将认定为“不入围文章”，有且只有1位专家评议意见为“不合格”的文章，将再送 2 位专家进行复评，2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的文章，将认定为“不入围文章”.设每篇文章被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇文章是否被评议为“不合格”相互独立.
(1)记一篇参评的文章被认定为“不入围文章”的概率为，求；
(2)若拟定每篇文章需要复评的评审费用为1500元，不需要复评的评审费用为900元；除评审费外，其他费用总计为10万元.该出版社总预算费用为80万元，现以此方案实施，问是否会超过预算? 并说明理由.

10 . 校社团组织图书义卖活动，将部分义卖所得款进行捐赠，对义卖所得款为(百元)，的班级，做统一方案，方案要求同时具备以下两个条件：①捐赠款(百元)随班级义卖所得款(百元)的增加而增加：②捐赠款不低于义卖所得款的75%，经测算，学校决定采用函数模型为参数作为捐赠方案，则同时满足①②的参数的取值范围是___________.