1 . 如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路．点P所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为（），且，点P到平面的距离．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为lkm（）时，其造价为万元．已知，，km，．

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小．
(2)对于（1）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小．
(3)在AB上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（2）中得到的最小总造价？证明你的结论．
(4)你能将上述模型进行推广，解决其他的实际问题吗？

2 . 对于函数，如果其图象上存在不同的两点，，，使得这两点处的切线重合，那么我们称函数存在“双切点切线”.已知函数
(1)已知函数的一条“双切点切线”的斜率等于1，切点、的横坐标，求实数的值；
(2)如果函数存在“双切点切线”，求实数的取值范围.

3 . 如图所示：一吊灯的下圆环直径为4米，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即）为2米，在圆环上设置三个等分点，点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点均用细绳相连接，且细绳的长度相等．设细绳的总长（即）为y米．

（1）设，将y表示成的函数关系式，并指出的范围；
（2）请你设计，当角正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时应为多长（精确至0.01米）．

4 . 信息熵描述了一个事情的不确定度，或者说我知道某个信息所减少的不确定度．此处“度”代表我们可以度量不同的信息中“信息”的含量多少，熵的概念在信息学和通信领域用处颇多，若有一系列基本事件，以作为随机变量，则这些事件可以分别认为是，．则对于这些基本事件的总体的熵，我们用公式计算．
(1)求抛一面质地均匀的六面骰子的熵
(2)假设一枚硬币，其抛出正面的概率是，请计算当取值为何时其熵最大
(3)在上一问中，假设．若想将多次抛掷硬币的信息通过一串“0”和“1”构建的字符串（如“0”、“11011”、“1010110”传递给，并满足以下条件：
·A和B事先商量好个对应法则
·A连续3次抛掷该硬币，将这三次的正反面通过对应法则编码成，将发送给B
·B可以通过唯一地确定A抛掷的硬币分别在第1，2，3次时的正反面
·的长度的期望尽量小．
例如，可以直接用每一位的数表示那一次硬币抛掷的结果，如表：

正正正	111
正正反	110
正反正	101
反正正	011
正反反	100
反正反	010
反反正	001
反反反	000

从而显然无论如何．都有成立．从而
请设计一种方案，使得：
（a）；
（b）；
并证明．（你不需要分别给出方案，的方案自动满足

5 . 已知在R上为单调递增函数，过点且平行于y轴的直线与函数的图象的交点为P，函数在点P处的切线交x轴于点B，当a变化时，的面积最小时，函数的解析式为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 重庆高新区有一边长为百米的正方形地块如图，地块的一角是一个池塘，其边缘线是以为顶点，为对称轴的抛物线的一段，为边的中点．规划在空地上修建一条小路（线段），把池塘隔离开来，点，分别在边，上．为方便解题，以为坐标原点，为轴，建立直角坐标系．

(1)求出边缘线的方程；
(2)点，在何处时，四边形的面积最大？最大值是多少？

7 . 为提高科技原创能力，抢占科技创新制高点，某企业锐意创新，开发了一款新产品，并进行大量试产．
(1)现从试产的新产品中取出了5件产品，其中恰有2件次品，但不能确定哪2件是次品，需对5件产品依次进行检验，每次检验后不放回，当能确定哪2件是次品时即终止检验，记终止时一共检验了次，求随机变量的分布列与期望；
(2)设每件新产品为次品的概率都为，且各件新产品是否为次品相互独立．记“从试产的新产品中随机抽取50件，其中恰有2件次品”的概率为，问取何值时，最大．

8 . 某路旁有一个小区域，经过整理可利用三点合理建一个形状的指示灯台，如图，设计师通过测量可知这三处恰为某曲线上三点，，，，则指示灯台最大可能建成的面积为参考数据：，（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 设，，点是第一象限内的一个定点，过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于、两点．试问：在的所有内切圆中，是否有直径最大或最小的内切圆，如果有，求出直径的值；如果没有，请说明理由．

10 . 函数的图象为曲线关于直线的对称曲线，，设为函数的导函数.
（1）当时，求的零点；
（2）时，设的最小值为，求证：.