名校
1 . 已知
，
是
的导函数，其中
．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设
，
与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为
．
①求证：对于任意的实数x，都有
；
②若关于x的方程
有两个实数根
，且
，证明：
．
，是的导函数，其中．(1)讨论函数
的单调性；(2)设
，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为．①求证：对于任意的实数x，都有
；②若关于x的方程
有两个实数根，且，证明：．
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名校
解题方法
2 . 已知函数
.
(1)证明：函数在定义域内存在唯一零点；
(2)设
，试比较
与
的大小，并说明理由：
(3)若数列
的通项
，求证
.
.(1)证明：函数
在定义域内存在唯一零点；(2)设
，试比较与的大小，并说明理由：(3)若数列
的通项，求证.
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2023-08-10更新
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380次组卷
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2卷引用：广东省佛山市南海区2022-2023学年高二下学期期中数学试题
名校
解题方法
3 . 已知函数
．
(1)求证：函数
在定义域上单调递增；
(2)设区间
（其中
），证明：存在实数
，使得函数
在区间I上总存在极值点．
．(1)求证：函数
在定义域上单调递增；(2)设区间
（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．
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4 . 已知函数
．
(1)若
在
上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当
时．
（i）求证：函数
在上单调递增；
（ii）设区间（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．
．(1)若
在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当
时．（i）求证：函数
在上单调递增；（ii）设区间
（其中），证明：存在实数，使得函数在区间I上总存在极值点．
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2022高三·全国·专题练习
5 . 已知函数
，
，在点
处的切线方程记为
，令
．
(1)设函数的图象与
轴正半轴相交于
，在点处的切线为
，证明：曲线
上的点都不在直线的上方；
(2)关于的方程
为正实数）有两个实根
，
，求证：
．
，，在点处的切线方程记为，令．(1)设函数
的图象与轴正半轴相交于，在点处的切线为，证明：曲线上的点都不在直线的上方；(2)关于
的方程为正实数）有两个实根，，求证：．
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解题方法
6 . 已知函数
.
(1)当
，证明：
；
(2)设
，若
，且
（
），求证：
.
.(1)当
，证明：；(2)设
，若，且（），求证：.
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7 . 已知函数
，
为的导函数．
（1）证明：当
时，
；
（2）若
是函数
＝
在
内零点，求证：
．
，为的导函数．（1）证明：当
时，；（2）若
是函数＝在内零点，求证：．
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名校
解题方法
8 . 已知
，
，直线
，
，
与曲线
所围成的曲边梯形的面积为
.其中
，且
.
（1）当
时，
恒成立，求实数
的值；
（2）请指出
，，
的大小，并且证明；
（3）求证：
.
，，直线，，与曲线所围成的曲边梯形的面积为.其中，且.（1）当
时，恒成立，求实数的值；（2）请指出
，，的大小，并且证明；（3）求证：
.
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名校
9 . 设函数的导函数为
.若不等式
对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数
与
都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数
是“超导函数”；
（3）若函数
是“超导函数”且方程
无实根，
（e为自然对数的底数），判断方程
的实数根的个数并说明理由.
的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数
与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；（3）若函数
是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.
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2018-06-30更新
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897次组卷
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3卷引用：【全国市级联考】江苏省盐城市2017-2018学年度第二学期高二年级期终考试数学试题
解题方法
10 . 已知函数
，其中
(1)若，记
，试判断在
上的单调性；
(2)求证:当
时，
；
(3)若对
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
，其中(1)若
，记，试判断在上的单调性；(2)求证:当
时，；(3)若对
，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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