1 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的两个极值点分别为,证明:;
(3)设,求证:当时,有且仅有2个不同的零点.
(参考数据:)
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的两个极值点分别为,证明:;
(3)设,求证:当时,有且仅有2个不同的零点.
(参考数据:)
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2 . 若函数在定义域内存在两个不同的数,,同时满足,且在点,处的切线斜率相同,则称为“切合函数”.
(1)证明:为“切合函数”;
(2)若为“切合函数”(其中为自然对数的底数),并设满足条件的两个数为,.
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)求证:.
(1)证明:为“切合函数”;
(2)若为“切合函数”(其中为自然对数的底数),并设满足条件的两个数为,.
(ⅰ)求证:;
(ⅱ)求证:.
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2024-01-03更新
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1024次组卷
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4卷引用:重庆市沙坪坝区南开中学校2024届高三上学期第五次质量检测数学试题
重庆市沙坪坝区南开中学校2024届高三上学期第五次质量检测数学试题(已下线)微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编重庆市南开中学校2024届高三上学期第五次质量检测数学试题江西省赣州市南康中学2024届高三上学期新高考“七省联考”考前数学猜题卷(一)
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解题方法
3 . 已知函数.
(1)当时,证明:;
(2)数列的前项和为,且;
(ⅰ)求;
(ⅱ)求证:.
(1)当时,证明:;
(2)数列的前项和为,且;
(ⅰ)求;
(ⅱ)求证:.
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2023-04-16更新
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482次组卷
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3卷引用:黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高二下学期第一次验收考试数学试题
2023·浙江宁波·模拟预测
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4 . 已知,.
(1)求在处的切线方程;
(2)求证:对于和,且,都有;
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,井用数学归纳法证明你所推广的命题.
(1)求在处的切线方程;
(2)求证:对于和,且,都有;
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,井用数学归纳法证明你所推广的命题.
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5 . 已知函数,
(1)若a=1,b=2,试分析和的单调性与极值;
(2)当a=b=1时,、的零点分别为,;,,从下面两个条件中任选一个证明.(若全选则按照第一个给分)
求证:①;
②.
(1)若a=1,b=2,试分析和的单调性与极值;
(2)当a=b=1时,、的零点分别为,;,,从下面两个条件中任选一个证明.(若全选则按照第一个给分)
求证:①;
②.
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2022高三·全国·专题练习
6 . 证明不等式:
(1)当时,求证:;
(2)已知函数,设,,且,证明:.
(1)当时,求证:;
(2)已知函数,设,,且,证明:.
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7 . 设直线,曲线.若直线与曲线同时满足下列两个条件:①直线与曲线相切且至少有两个切点;②对任意都有.则称直线为曲线的“上夹线”.
(1)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”;
(2)观察下图:根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.
(1)已知函数.求证:为曲线的“上夹线”;
(2)观察下图:根据上图,试推测曲线的“上夹线”的方程,并给出证明.
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2024·广东·二模
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8 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,其内容为:如果函数在闭区间上的图象连续不断,在开区间内的导数为,那么在区间内存在点,使得成立.设,其中为自然对数的底数,.易知,在实数集上有唯一零点,且.(1)证明:当时,;
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
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9 . 已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)①求证:有且仅有一个极值点;
②当时,设的极值点为,若.求证:
(1)当时,求的最小值;
(2)①求证:有且仅有一个极值点;
②当时,设的极值点为,若.求证:
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2024·重庆·模拟预测
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10 . 函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数有两个极值点,曲线上两点,连线斜率记为k,求证:;
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球(除编号外无区别),有放回的随机抽取20个小球,记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p,求证:.
(1)讨论的单调性;
(2)若函数有两个极值点,曲线上两点,连线斜率记为k,求证:;
(3)盒子中有编号为1~100的100个小球(除编号外无区别),有放回的随机抽取20个小球,记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p,求证:.
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