1 . 如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．

(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．

2 . 如图，在平面凸四边形中，为边的中点．

   

(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．

3 . 在中，角的对边分别为，已知.
(1)若的内角平分线交于点，求的长；
(2)若与的内角平分线相交于点的外接圆半径为2，求的最大值.

4 . 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.

   

(1)将用含有的关系式表示出来；
(2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？

5 . 如图，在平面四边形中，，，.
   
(1)求；
(2)若，，，四点共圆，求四边形面积的最大值.

6 . 在中，角所对的边分别为．
(1)求的最大值；
(2)求的取值范围．

7 . 已知为中边上的中线，．
(1)若，求的长；
(2)若，求的值及的值．

8 . 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线，且，求的周长．

9 . 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求证：；
(2)求的取值范围．

10 . 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求C；
(2)求的取值范围.