1 . 在中，点为动点，两定点的坐标分别为，，且满足，求动点的轨迹方程．

2 . 已知双曲线的两焦点分别为、，点为双曲线上一点，且，求的面积．

3 . 在中，已知点和点．若边，且满足，求顶点的轨迹方程．

4 . 若，是双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且，求的大小．

5 . 铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成，合页主要安装与门窗上，而铰链更多安装与橱柜上，如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在上变化，其中，正常把合页安装在家具门上时，的变化范围是，根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.
   
(1)若使，求的长；
(2)当为多少时，面积取得最大值？最大值是多少？

6 . 在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.

7 . 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米．

   

(1)求线段MN的长度；
(2)若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．

8 . 双曲线的左、右两焦点分别为，点在双曲线上，且，求的面积．

9 . 在中，角A、B、C的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长.

10 . 在△ABC中，．
(1)求C的大小；
(2)已知，求△ABC的面积的最大值．